12.2.1. Нормальное распределение.

Функция нормального распределения с математическим ожиданием и дисперсией о имеет вид:

Поскольку достаточно уметь вычислять функцию называемую стандартной функцией нормального распределения

где — плотность стандартного нормального закона. Отметим следующее свойство функции

Для функции известны в настоящее время многочисленные разложения в ряды и непрерывные дроби, приближения полиномами Чебышева на различных интервалах, пригодные для вычисления значений

Здесь мы, однако, приведем лишь небольшое число аппроксимационных формул, удобных для программирования.

Аппроксимационные формулы для функции распределения:

где

Менее точная аппроксимация подобного типа:

(12.7)

Погрешность этого приближения не превышает

Приведем еще аппроксимационную формулу, не требующую вычисления плотности

Имеется аппроксимационная формула типа (12.8) с погрешностью формула (26.2.19)].

Приведенные выше аппроксимации позволяют вычислить значения с необходимой в практических приложениях точностью.

Обратную функцию для нормального распределения будем обозначать через . Имеет место соотношение

где — функция, обратная для стандартного нормального закона, т. е.

Так как при всех , то практически нужно уметь вычислять значения в полуинтервале .

Приведем следующие аппроксимационные формулы, полученные модификацией формул (26.2.22) и (26.2.23) из [1] (в обеих формулах

Погрешность Интересно разложение для вида

(12.11)

Первые четыре коэффициента разложения:

Применение отрезка ряда с первыми четырьмя членами дает необходимую для практических применений точность в интервале