11.2.6. Критерии проверки симметрии распределений.

Задача проверки симметрии распределений возникает при анализе остатков регрессионных моделей, в дисперсионном анализе и устойчивом оценивании. Рассмотрим критерии для проверки гипотезы симметрии относительно фиксированной точки Будем предполагать, что распределение имеет, непрерывную плотность . Тогда гипотезу симметрии можно записать в виде

(11.37)

и в терминах функции распределения

Гипотеза (11.37) утверждает, что плотность распределения симметрична и центром симметрии является точка

Непараметрические критерии для проверки гипотезы симметрии основаны на использовании абсолютных рангов (относительно точки ).

Пусть — выборка из распределения, для которого проверяется гипотеза (11.37), (11.38). Введем теперь преобразованные наблюдения

(11.39)

и образуем из них вариационный ряд . Ранг величины в этом ряду называется абсолютным рангом (относительно точки ) и будет обозначаться через

Такое преобразование сводит задачу проверки гипотезы симметрии к задаче проверки гипотезы однородности двух распределений, образованных соответственно левым и правым (относительно ) «хвостами» исходного распределения.

Пусть есть множество индексов тех наблюдений для которых , т. е. если то . Рассмотренные ниже критерии являются аналогами ранговых критериев однородности, введенных в п. 11.2.3.

Одновыборочный критерий Вилкоксона 1 использует статистику

Для математического ожидания и дисперсии имеем ([23]) в случае истинности нулевой гипотезы:

Критерий Фрэзера — Клотца 2 (критерий нормальных меток) основан на статистике

где — математическое ожидание порядковой статистики в вариационном ряду длины который образован абсолютными значениями случайных величин имеющих стандартное нормальное распределение.

Имеем ([23]) в случае нулевой гипотезы:

(11.43)

Аналог критерия Ван дер Вардена асимптотически подобен критерию Фрэзера — Клотца. Статистика этого критерия имеет вид [23]

(11.44)

с математическим ожиданием и дисперсией

где — обратная функция стандартного нормального распределения.

Все введенные ранговые критерии имеют асимптотически нормальное распределение с параметрами, задаваемыми формулами (11.41), (11.43), (11.45) соответственно. Применение этих критериев сводится к последовательности следующих шагов.

1. Из членов исходной выборки образуется новая выборка .

2. Величины упорядочиваются в порядке возрастания

3. Определяются ранги в ряду соответствующие нормам исходных наблюдений, для которых разность .

4. Вычисляется статистика критерия согласно формулам (11.40), (11.42) или (11.44).

5. Вычисляется величина

6. Гипотеза симметрии отвергается, если величина слишком велика, точнее, если выполняется одно из неравенств или , где а — заданный уровень значимости нулевой гипотезы.

Таким образом, для критериев симметрии (11.40), (11.42), (11.44) критическая область является двусторонней.

Часто гипотетический центр симметрии неизвестен и в качестве точки для проверки гипотезы (11.37), (11.38) используют ту или иную оценку параметра положения, например среднее арифметическое, медиану или какую-либо устойчивую оценку параметра положения (см. гл. 10). В этой ситуации применение непараметрических критериев, рассмотренных выше, будет носить уже приближенный характер.