6.2. Законы распределений вероятностей, используемые при реализации техники статистических вычислений

6.2.1. «хи квадрат»-распределение.

Ниже описываются пять законов, основное назначение которых — предоставление исследователю необходимого аппарата для построения разного рода статистических критериев и интервальных оценок параметров: -распределение («хи квадрат»-распределение); -распределение (Стьюдента); -распределение (распределение дисперсионного отношения); В-распределение (бета-распределение) и Г-распределение (гамма-распределение). Объяснение механизма их действия можно связывать со «статистикой нормального закона», т. е. с изучением распределений некоторых функций от набора независимых и одинаково стандартно нормально распределенных случайных величин.

В связи с гауссовской теорией ошибок астроном Ф. Хельмерт исследовал суммы квадратов нормально распределенных случайных величин, придя таким образом к функции распределения , которую позднее К. Пирсон назвал функцией распределения «хи квадрат». Для отрицательных функция , а для неотрицательных

где параметр закона — целое положительное число, которое принято называть числом степеней свободы, а — значение гамма-функции Эйлера в точке .

Соответствующая плотность вероятности задается функцией

При функция плотности постоянно убывает (для ), а при имеет единственный максимум в точке .

Распределение появилось впервые при исследовании распределения последовательности независимых и одинаково стандартно нормально распределенных случайных величин Выяснилось, что случайная величина подчиняется закону распределения с степенями свободы. Это является основанием для получения следующего важного результата: если — выборочная дисперсия, построенная по независимым наблюдениям -нормально распределенной случайной величины, то случайная величина подчиняется закону распределения степенями свободы, т. е.

Приведем здесь еще два важных результата, связанных с применением распределения в технике статистической обработки данных.

Пусть исследуемый случайный признак имеет функцию распределения достаточно гладко зависящую от s неизвестных параметров . Предположим, что по имеющейся выборке значений признака нам удалось построить достаточно хорошие (эффективные или асимптотически эффективные, см. § 8.3) оценки для неизвестных значений параметров (в нормальном распределении такими параметрами и будут соответственно среднее значение и дисперсия а их оценками — функции от результатов наблюдений ) Определим далее вероятности:

— соответственно возможное значение дискретного признака и левый конец интервала группирования, на которые разбит статистически обследованный диапазон изменения значений непрерывной случайной личины — общее число возможных значений или интервалов группирования, причем значения в крайних точках полагаются равными нулю (в точке или ) и единице (в точке или )

Если — число наблюдений нашей выборки, равных возможному значению (или попавших в интервал группирования), то распределение приведенной ниже интегральной меры расхождения выборочных относительных частот и соответствующих им вероятностей

стремится при к распределению с степенями свободы. Этот результат используется при проверке статистических гипотез о виде исследуемого закона распределения (см. § 11.1).

Если при условиях и обозначениях предыдущего результата добавить вторую выборку из той же самой генеральной совокупности (соответствующие ей относительные частоты равны то величина

будет иметь распределение, сходящееся при к распределению степенями свободы. Этот результат используется при проверке статистической гипотезы о принадлежности двух различных выборок к одной и той же генеральной совокупности и может быть обобщен на случай более двух выборок (см. § 11.2).

Основные числовые характеристики (-распределения: