Выводы

1. Следует выделить три типа основных результатов теории вероятностей:

доасимптотические, позволяющие анализировать основные закономерности в поведении случайной величины по ее главным числовым характеристикам — среднему значению, дисперсии и т. п. — без апелляции к знанию общего вида закона ее распределения;

асимптотические, позволяющие анализировать основные закономерности в поведении сумм большого числа случайных слагаемых (а именно устанавливать их асимптотическую устойчивость, т. е. их сходимость к некоторым постоянным значениям по мере роста числа слагаемых, или описывать асимптотический вид закона распределения этих сумм) без точного знания законов распределения отдельных слагаемых;

относящиеся к теории преобразований случайных величин, позволяющие находить закон распределения интересующих нас функций от набора случайных величин, совместное распределение которых нам известно.

2. Первый тип результатов представлен в данном издании неравенством Чебышева, позволяющим оценивать вероятность зафиксировать при наблюдении случайной величины значение, отклоняющееся от ее среднего значения не менее чем на заданную величину , без знания закона распределения исследуемой случайной величины (см. (7.12)).

3. Закон больших чисел и его следствия относятся к первому (менее глубокому) уровню асимптотических результатов и позволяют устанавливать сходимость (по вероятности) нормированных сумм большого числа случайных слагаемых к некоторым постоянным значениям — по мере роста числа слагаемых — практически независимо от вида распределения самих слагаемых. Из этих результатов непосредственно следует, в частности, важное свойство статистической устойчивости основных выборочных числовых характеристик исследуемой случайной величины — среднего, дисперсии, относительных частот и т. д. (см. (7.3), (7.3)).

4. Центральная предельная теорема относится к следующему (более глубокому) уровню асимптотических результатов. Она утверждает, в частности, что закон распределения нормированной суммы большого числа случайных слагаемых практически вне зависимости от типа распределения самих слагаемых стремится (по мере роста числа слагаемых) к нормальному (гауссовскому) закону распределения (см. п. 7.3.1).

Однако необходима известная осторожность при практическом использовании центральной предельной теоремы: во-первых, часто можно подобрать весьма простые (и более точные, чем нормальные!) аппроксимации для распределения суммы небольшого конечного числа случайных слагаемых; во-вторых, центральная предельная теорема плохо работает на «хвостах» распределений, т. е. при оценке вероятностей больших уклонений анализируемой суммы случайных величин от своего среднего значения.

5. Основным результатом теории преобразования случайных величин является правило (7.8") (или (7.11) в многомерном случае), позволяющее вычислять закон распределения (функцию плотности или полигон частот) случайной величины, являющейся заданной функцией от набора исходных случайных величин, совместный закон распределения которых нам известен.