Выводы

1. Основаниями теоретико-вероятностного математического аппарата являются: понятия случайного эксперимента, его возможного исхода и пространства элементарных событий; аксиома о существовании и нормировке вероятностей элементарных событий; определение случайного события и способа вычисления его вероятности.

2. Способ построения современной строгой вероятностной теории аксиоматический, причем для построения дискретного вероятностного пространства, т. е. для модельного математического описания механизма случайного эксперимента, имеющего лишь конечное пли счетное множество возможных элементарных исходов, достаточно постулировать одну аксиому (о существовании и нормировке вероятностей элементарных исходов) и одно определение (о способе вычисления вероятности любого события).

3. Термины «механизм случайного эксперимента», «реальный комплекс условий, индуцирующий исследуемый статистический ансамбль» w «вероятностное пространство» являются синонимами и могут быть математически заданы с помощью описания всех возможных элементарных исходов и сопоставления с каждым из них вероятности своего появления (с помощью аналитического задания, таблично, графически, алгоритмически).

4. Главная сложность построения вероятностного пространства, соответствующего исследуемому реальному комплексу условий, — в конкретном задании вероятностей элементарных событий. Из трех возможных подходов к решению этой задачи — априорного, апостериорно-частотного и апостериорно-модельного — последний является наиболее легко практически реализуемым и наиболее эффективным.

5. Основные правила действий в дискретном вероятностном пространстве задаются теоремами сложения и умножения вероятностей, формулами полной вероятности и Байеса.

6. В общем (непрерывном) вероятностном пространстве в отличие от дискретного среди подмножеств пространства элементарных событий могут быть такие, для которых не существует принципиальной возможности их наблюдения в результате исследуемого случайного эксперимента («ненаблюдаемые» или «неизмеримые» подмножества). Такие подмножества не могут быть названы событиями, так как если А — событие, то мы должны иметь возможность сказать, наступило оно или не наступило в результате эксперимента (в этом смысле оно «наблюдаемо»); только тогда можно говорить об относительной частоте его наступления в серии экспериментов, а следовательно, и о вероятности

7. Отмеченная в предыдущем пункте особенность общего вероятностного пространства требует введения дополнительных определений и аксиом, относящихся к определению случайных событий и к правилам действий с их вероятностями. Современная аксиоматическая концепция теории вероятностей (впервые полно и строго изложенная А. Н. Колмогоровым в 1933 г.) строит общее вероятностное пространство, отправляясь от определения случайного события (с помощью перечисления допустимых теоретикомножественных комбинаций над подмножествами, априори являющимися событиями) и аксиомы о вероятностях как о неотрицательных и ограниченных единицей числовых функциях, аргументами которых являются подмножества-события.

Эта концепция не противоречит рассмотренному ранее способу построения дискретного вероятностного пространства (она включает в себя этот способ в качестве частного случая и соответственно сохраняет все правила действий с вероятностями и событиями) и обусловливает возможность физической интерпретации вероятности события как относительной частоты его появления в достаточно длинной серии экспериментов.

8. Использование аксиоматической концепции теории вероятностей может в некоторых случаях, как и всякая другая модель, приводить к плохо физически интерпретируемым выводам.

9. В общем (непрерывном) вероятностном пространстве в отлнчие от дискретного могут существовать возможные события, обладающие нулевой вероятностью появления. Соответственно противоположные к ним события (их дополнения) хотя и не могут быть названы достоверными, но имеют вероятность осуществления, равную единице (события, происходящие «почти всегда»).