8.4. Асимптотические свойства оценок

Всякая оценка как функция от «гипотети ческих» результатов наблюдения является случайной величиной: и, следовательно, ее свойства определяются, в конечном счете, функцией ее распределения . Поскольку оценка строится по выборке конечного объема , то и ее функция распределения зависит, вообще говоря, от , что и отражено в ее записи. Однако практическое определение законов распределения оценок при конечных объемах выборок в большинстве ситуаций весьма затруднительно, зато гораздо проще вычислять их асимптотическое (по ) распределение (при соответствующей нормировке). В частности, пусть — оценка неизвестного параметра и пусть существует такая непрерывная и дифференцируемая функция распределения , что в любой точке и имеет место сходимость

В этом случае функцию называют функцией асимптотического распределения оценки , а значения

соответственно асимптотическим смещением и асимптотической дисперсией этой оценки.

Если асимптотическое смещение равно нулю, оценка называется асимптотически-несмещенной. Из асимптотической несмещенности оценки не следует ее несмещенность в обычном смысле, и, наоборот, несмещенность оценки, вообще говоря, не гарантирует ее асимптотическую несмещенность. Однако на практике несмещенность рассматривается как более сильное свойство и несмещенные оценки обычно являются асимптотически-несмещенными. Аналогично совсем не обязательно, чтобы при происходило в надлежащей нормировке сближение и дисперсии оценки. Последняя вообще может не существовать. Вместе с тем утверждение, что асимптотическая дисперсия оценки всегда не превосходит дисперсию оценки, если последняя существует, тоже не верно, хотя на практике обычно имеет место.

Пример 8.2 (частота как оценка вероятности). Согласно центральной предельной теореме (см. § 7.3) — частота осуществления некоторого события в серии из опытов — имеет асимптотически-нормальное распределение со средним, равным соответствующей вероятности и дисперсией , т. е.

Рассматривая как оценку параметра мы видим, что — оценка несмещенная и асимптотически-несмещенная, а ее дисперсия и асимптотическая дисперсия равны

В случае векторной оценки вектора можно но аналогии с (8.18) определить -мерную функцию распределения Для этого в (8.18) надо только заменить на соответствующие векторы и неравенство понимать так, что оно выполняется одновременно по всем координатам.

Предположим далее, что — асимптотически-несмещенная оценка , т. е. и что существует ковариационная матрица

Тогда матрицу будем называть асимптотической ковариационной матрицей оценки .

Определим понятие асимптотической эффективности оценки. Пусть — две различные асимптотически-несмещенные оценки параметра . Оценка называется асимптотически более эффективной, чем оценка , если асимптотическая дисперсия меньше асимптотической дисперсии . В случае векторных асимптотически-несмещенных оценок оценка считается асимптотически более эффективной по сравнению с оценкой , если существуют определенные выше асимптотические ковариационные матрицы этих оценок и и, кроме того, матрица — является неотрицательно-определенной. Для векторных оценок возможны случаи, когда, несмотря на существование матриц и нельзя ответить на вопрос, какая из двух оценок эффективнее.