8.1.2. Статистики, статистические оценки, их основные свойства.

Любая функция от результатов наблюдения исследуемой, вообще говоря, многомерной, случайной величины называется статистикой.

Мы уже познакомились в гл. 5 с целым рядом статистик: выборочное среднее (5.20); выборочная ковариационная матрица (5.36); выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса (формулы (5.33) и (5.34)); эмпирические функции распределения и плотности (формулы (5.12) и (5.23)).

Статистика 0, используемая в качестве приближенного значения неизвестного параметра , называется статистической оценкой. Так, например, статистики можно рассматривать как статистические оценки соответственно параметров , поскольку в соответствии с § 7.2 все эти статистики при сходятся по вероятности к истинным значениям соответствующих параметров.

Обращаем внимание читателя на тот факт, что, говоря о статистиках и статистических оценках, мы используем всегда гипотетический вариант интерпретации выборки (8.1) (см. сноску в п. 5.6.4), т. е. вариант, при котором под подразумеваются лишь обозначения тех значений исследуемого признака , которые мы могли бы получить, проводя -кратный случайный эксперимент (или производя независимых наблюдений) в данном реальном комплексе условий. Следовательно, все статистики и статистические оценки являются случайными величинами: при переходе от одной выборки к другой (даже в рамках одной и той же генеральной совокупности) конкретные значения статистической оценки, подсчитанные по одной и той же формуле (8.3) (т. е. значения, полученные с помощью подстановки в эту формулу соответственно различных конкретных значений аргумента), будут подвержены некоторому неконтролируемому разбросу. Правда, значения статистической оценки, подсчитанные по разным выборкам, хотя и подвержены случайному разбросу, но должны (если наша оценка «хороша»!) концентрироваться около истинного значения оцениваемого параметра.

Возникает вопрос о требованиях, которые следует предъявить к статистическим оценкам, чтобы эти оценки были в каком-то определенном смысле надежными. Эти требования формулируются обычно с помощью следующих трех свойств оценок: состоятельности, несмещенности и эффективности.