3.5.2. Линейные вероятностные модели.

Среди моделей, описывающих взаимосвязь между случайными величинами, выделяются так называемые линейные регрессионные модели. В достаточно общем случае они имеют вид

где Y — -мерный вектор наблюдений: — известная матрица плана размера — неизвестный -мерный вектор параметров; — -мерный случайный вектор-столбец ошибок, удовлетворяющий условию

где — неизвестный скалярный параметр, а Е — символ операции теоретического усреднения (математического ожидания, см. п. 5.6.1). Распространена интерпретация , как наблюдения, зависимой переменной (отклика) в точке пространства наблюдений.

Покажем сначала, что приведенная выше (см. § 3.1) модель со шрифтами может рассматриваться как частный случай общей линейной модели. Для этого обозначим . Уравнения (3.1) теперь можно записать в виде (3.5) с помощью матрицы X размера , такой, что

Нулевая гипотеза при данной параметризации состоит в проверке равенства .

В качестве других частных случаев модели (3.5) и (3.6) укажем:

а) модель линейной регрессии первого порядка, когда имеется один объясняющий количественный показатель (фактор) и при его значении, равном результирующий (объясняемый) показатель (или отклик) равен:

б) модель однофакторного дисперсионного анализа с l градациями (неколичественного) объясняющего фактора и независимыми наблюдениями при каждой градации:

Для разрешимости модели дополнительно предполагается, что Наиболее часто интересуются вопросом, равны ли нулю все

в) модель двухфакторного анализа. Само название указывает, что имеются два объясняющих (неколичествеиных) фактора. Отклик для уровня первого фактора и уровня второго фактора имеет вид

где на эффекты факторов наложены дополнительные ограничения — независимые одинаково распределенные ошибки. Наиболее часто проверяемые гипотезы:

Линейные модели хорошо изучены, см., например, [71], [87].