Выводы

1. Критерии для проверки статистических гипотез можно разделить на два основных класса — критерии, у которых распределение критических статистик (в условиях справедливости нулевой гипотезы) зависит от распределений, порождающих выборки (так называемые параметрические критерии), и критерии, «свободные от распределения», т. е. критерии, у которых распределение критических статистик в условиях справедливости нулевой гипотезы не зависит от порождающих распределений (непараметрические критерии). Такое разделение критериев носит до некоторой степени условный характер. Так, для критерия согласия типа распределение критической статистики в случае истинности нулевой гипотезы не зависит от модельного распределения, хотя для его применения обычно требуется оценка параметров модельного распределения. С другой стороны, применение непараметрических критериев согласия Колмогорова и в условиях оценки параметров модельного распределения зависит уже от формы модельного распределения.

2. Для проверки гипотезы о нормальном характере модельного распределения можно использовать традиционные критерии, основанные на выборочных значениях коэффициентов асимметрии и эксцесса. Одна из трудностей в применении этих критериев связана с медленной сходимостью распределений критических статистик к предельным, в связи с чем требуется использование таблиц процентных точек точных распределений критических статистик, вычисленных для фиксированных объемов выборок. Значительно более быстрой сходимостью к предельным распределениям обладают статистики критериев типа Колмогорова и для проверки нормальности в условиях, когда параметры распределения оцениваются по выборке.

3. Критерий применим для проверки гипотез согласия и однородности в условиях, когда данные группированы. Предельное распределение этого критерия, при истинности нулевой гипотезы, не зависит от распределений, порождающих выборки, хотя при проверке гипотезы согласия могут потребоваться оценки параметров модельного распределения. Существенным моментом при применении этого критерия является выбор количества интервалов группирования и распределение наблюдений по этим интервалам.

4. Когда модельное распределение известно полностью и является непрерывным (хакая ситуация имеет место, например, при проверке датчиков случайных чисел с заданным законом распределения), для проверки гипотезы согласия наиболее целесообразно использовать критерии Колмогорова-Смирнова и Крамера-Мизеса. Распределения статистик этих критериев быстро сходятся к предельному, а сами предельные распределения вычисляются достаточно просто. Имеются модификации критических статистик, распределения которых еще быстрее приближаются к предельным. При применении к группированным данным уровень значимости этих критериев будет меньше номинального.

5. Для проверки гипотез однородности двух выборок в одномерном случае могут быть использованы критерий Смирнова и линейные ранговые критерии. Критерий Смирнова состоятелен против любого типа нарушения нулевой гипотезы, но не указывает на его природу. Линейные ранговые критерии позволяют получить более детальные выводы о том, с чем связана неоднородность — с различием в параметре положения и (или) масштаба. Достоинством линейных ранговых критериев является быстрая сходимость распределений их статистик к предельному (нормальному) распределению и их устойчивость к засорению данных грубыми выбросами. Линейные ранговые критерии сравнительно просто обобщаются на случай более чем двух классов. Все эти критерии, строго говоря, применимы только в случае непрерывности модельного распределения. Применение линейных ранговых критериев к группированным данным требует внесения определенных поправок, так называемой обработки совпадений.

6. Если известно, что выборки извлечены из нормальных совокупностей, для проверки гипотезы однородности могут быть использованы критерии, основанные на хорошо известных статистиках — -статистике Стьюдента и -статистике Фишера.

Эти критерии обобщаются и на случай классов. Критерий на основе -статистики устойчив к отклонениям от нормальности и может быть использован и в более общей ситуации.

7. В многомерном случае для проверки гипотезы однородности, по существу, имеются лишь критерии, основанные на предположении о том, что выборки извлечены из многомерных нормальных совокупностей. Критерий , как и его аналог для одномерного случая -критерий Стьюдента, устойчив к отклонениям от нормальности и может быть использован и в общей ситуации.

8. Для проверки гипотезы симметрии распределения могут быть использованы линейные ранговые критерии, аналоги линейных ранговых критериев для проверки гипотезы однородности.

9. Статистические процедуры выделения резко выделяющихся наблюдений основаны на предположении однородности данных. При этом выбросы рассматриваются как наблюдения, нетипично далеко удаляющиеся от центра распределения. К настоящему времени предложено много аналитических процедур для идентификации выбросов и оценки значимости их отклонения. Основная трудность в использовании этих методов состоит в том, что реальная доля «засорения» не известна, а оценивается по тем же данным, по которым проверяется значимость отклонения. Наиболее устойчивы к отклонениям от предположения нормальности основной части выборки графические процедуры.

При использовании статистических методов выделения выбросов следует иметь в виду, что выбросы могут оказаться наиболее существенной частью выборки, проливающей свет на то, как собирались данные.