4.2. Непрерывное вероятностное пространство (аксиоматика А. Н. Колмогорова)

4.2.1. Специфика общего (непрерывного) случая вероятностного пространства.

Ранее упоминалось о ситуациях, в которых множество всех возможных элементарных исходов (пространство элементарных событий Й) может оказаться более чем счетным. Так, например, именно с континуальным пространством элементарных событий придется иметь дело, если каждому элементарному исходу со исследуемого случайного эксперимента (наблюдения) может быть поставлена в соответствие регистрация одной или нескольких числовых характеристик обследуемого объекта анализируемой совокупности, измеренных в физических единицах непрерывной природы (в единицах времени, длины, веса, температуры, давления и т. п.). Можно, правда, возразить, что, поскольку все измерения делаются с ограниченной точностью, реальное множество элементарных исходов все равно окажется не более чем счетным. Однако, с одной стороны, возможности точности измерений со временем совершенствуются и вместе с этим должна соответственно трансформироваться и структура рассматриваемого дискретного вероятностного пространства. С другой стороны, рассмотрение непрерывных моделей, отвечая физической сущности анализируемого явления, одновременно расширяет аналитические возможности теории, предоставляет исследователю более мощный математический аппарат: достаточно сопоставить возможности простого суммирования и интегрирования, апцарата разностных и дифференциальных уравнений и т. д.

Как же осуществляется переход от дискретного к непрерывному случаю в построении строгой математической теории вероятностей? Автоматический перенос всей схемы построения дискретного вероятностного пространства (см. § 4.1) на непрерывный случай невозможен. Одно из принципиальных отличий непрерывного случая от дискретного заключается в том, что в общем случае мы не можем объявить, подобно тому как это делалось в дискретном вероятностном пространстве, любое подмножество множества элементарных исходов Q случайным событием, т. е. событием, характеризующимся принципиальной возможностью его наблюдения в результате исследуемого случайного эксперимента.

Другими словами, в общем вероятностном пространстве среди всех возможных подмножеств пространства элементарных событий часть подмножеств характеризуется такой возможностью (и их принято называть случайными событиями или измеримыми подмножествами ), а другая часть — нет (подмножества этого типа принято называть неизмеримыми).

Приведем пример неизмеримости подмножеств пространства элементарных событий, связанной с ограниченными физическими возможностями используемого инструмента наблюдения. Пусть наблюдатель звездного неба имеет телескоп, позволяющий фиксировать положение лишь тех звезд, яркость которых превышает некоторый пороговый уровень. В качестве пространства элементарных событий рассмотрим совокупность возможных положений всех (а не только доступных наблюдателю) звезд в пространстве. Очевидно, множество и более чем счетно (континуально). Для наблюдателя, если он только не использует накопленные астрономией знания, неизмеримыми (экспериментально непроверяемыми) оказываются все утверждения о звездах яркости, меньшей пороговой. Вместе с тем мы знаем, что при использовании более сильных инструментов, учете движения Земли вокруг Солнца или с помощью привлечения других методических приемов современной астрономии часть из этих утверждений может стать проверяемой. Понятие измеримости позволяет в данном случае четко провести грань между физически проверяемыми утверждениями о строении исследуемого вероятностного пространства и утверждениями, на сегодня недоступными для проверки. При этом само пространство элементарных событий как состояние природы остается неизменным.

Итак, естественно называть случайным событием лишь такие подмножества А множества всех элементарных исходов , для которых мы имеем возможность сказать, наступило это событие в результате эксперимента или нет, так как только в этом случае мы можем говорить об относительной частоте его наступления в ряду из экспериментов, а следовательно, и о вероятности

Отмеченная особенность общего (непрерывного) случая, по-видимому, требует введения дополнительных определений и аксиом, относящихся к определению случайных событий и к правилам действий с ними и их вероятностями. Это и делается при аксиоматическом (теоретико-множественном) построении современной теории вероятностей, первое строгое и полное изложение которой принадлежит А. Н. Колмогорову ([46])