<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

261

262

263

264

265

266

267

268

269

270

271

272

273

274

275

276

277

278

279

280

281

282

283

284

285

286

287

288

289

290

291

292

293

294

295

296

297

298

299

300

301

302

303

304

305

306

307

308

309

310

311

312

313

314

315

316

317

318

319

320

321

322

323

324

325

326

327

328

329

330

331

332

333

334

335

336

337

338

339

340

341

342

343

344

345

346

347

348

349

350

351

352

353

354

355

356

357

358

359

360

361

362

363

364

365

366

367

368

369

370

371

372

373

374

375

376

377

378

379

380

381

382

383

384

385

386

387

388

389

390

391

392

393

394

395

396

397

398

399

400

401

402

403

404

405

406

407

408

409

410

411

412

413

414

415

416

417

418

419

420

421

422

423

424

425

426

427

428

429

430

431

432

433

434

435

436

437

438

439

440

441

442

443

444

445

446

447

448

449

450

451

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Научная библиотека

Математический справочник

ЕГЭ и ОГЭ

Forex4you

Живые анекдоты

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Макеты страниц

6.2.2. Распределение Стьюдента (t-распределение).

Анализируя случайные отклонения выборочной средней от истинного среднего значения исследуемой случайной величины , английский статистик В. Госсет (писавший под псевдонимом «Стьюдент») получил в следующий результат. Пусть — независимые - нормально распределенные случайные величины. Тогда плотность распределения случайной величины

описывается функцией

Распределение (6.22) получило название распределения Стьюдента с степенями свободы (или t-распределения). Из выражения (6.22) следует, что функция плотности не зависит от дисперсии случайных величин и, кроме того, является унимодальной и симметричной относительно точки

Приведем несколько результатов, используемых при статистической обработке выборочных данных, извлеченных из нормальной генеральной совокупности.

1. Если — выборка, извлеченная из нормальной генеральной совокупности с параметрами — соответственно выборочная средняя и выборочная дисперсия, построенные по наблюдениям данной выборки, то случайная величина

подчинена распределению Стьюдента с степенями свободы. Этот результат используется при построении интервальных оценок для неизвестного значения параметра , а также при проверке статистической гипотезы о том, что данная выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности с заданным значением (см. гл. 8 и 9).

2. Если к условиям и исходным данным предыдущего примера добавить вторую выборку из той же самой генеральной совокупности (и вычисленные по ней выборочные среднее ) и дисперсию то следующая нормированная мера расхождения двух выборочных средних

подчиняется распределению Стьюдента с степенями свободы (общее среднее квадратическое отклонение ) в формуле (6.24) определяется соотношением

Этот результат используется при проверке однородности выборочных средних, вычисленных по двум различным выборкам, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей (см. п. 11.2.5).

Основные числовые характеристики t (-распределения:

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
Раздел I. ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА: ЕЕ СУЩНОСТЬ И НАЗНАЧЕНИЕ (общие методические принципы)
Глава 1. ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА КАК САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ НАУЧНАЯ ДИСЦИПЛИНА
1.2. Оптимизационная формулировка основных задач прикладной статистики и проблема устойчивости статистического вывода
1.2.1. Связь между оптимизационной формулировкой основных задач прикладной статистики и проблемой устойчивости статистического вывода.
1.2.2. Проблема статистического исследования зависимостей между анализируемыми показателями.
1.2.3. Проблема классификации объектов или признаков.
1.2.4. Снижение размерности исследуемого факторного пространства и отбор наиболее информативных признаков.
Выводы
Глаза 2. ТЕОРЕТИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫЙ СПОСОБ РАССУЖДЕНИЯ В ПРИКЛАДНОЙ СТАТИСТИКЕ
2.1.1. Статистический ансамбль и «игра случая».
2.1.2. Теория вероятностей и условия статистического ансамбля.
2.1.3. Основные типы реальных ситуаций с позиций соблюдения условий статистического ансамбля.
2.2. «Взаимоотношения» теории вероятностей и математической статистики
2.2.2. Теоретико-вероятностный способ решения.
2.2.3. Вероятностно-статистический (или математико-статистический) способ принятия решения.
ВЫВОДЫ
Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ПРИКЛАДНОЙ СТАТИСТИКЕ
3.1.1. О двух подходах к статистическому моделированию.
3.1.2. Понятие математической модели.
3.2. Общая логическая схема и основные этапы содержательного математического моделирования
3.2.2. Моделирование механизма явления вместо формальной статистической фотографии.
3.3. Понятие о статистическом моделировании
3.4. Возражения против математических моделей
3.5. Наиболее распространенные типы математических моделей, используемых в прикладной статистике
3.5.1. Модели законов распределения вероятностей случайных величин.
3.5.2. Линейные вероятностные модели.
3.5.3. Обобщение линейных моделей.
3.5.4. Геометрические модели.
3.5.5. Модели марковского типа.
Выводы
Раздел II. ОСНОВЫ ТЕОРЕТИКО-ВЕРОЯТНОСТНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА
4.1.1. Наблюдение, зафиксированное на объекте исследуемой совокупности (случайный эксперимент).
4.1.2. Случайные события и правила действий с ними.
4.1.3. Вероятностное пространство. Вероятности и правила действия с ними.
4.2. Непрерывное вероятностное пространство (аксиоматика А. Н. Колмогорова)
4.2.1. Специфика общего (непрерывного) случая вероятностного пространства.
4.2.2. Случайные события, их вероятности и правила действий с ними (аксиоматический подход А. Н. Колмогорова).
Выводы
Глава 5. случайные величины (исследуемые признаки)
5.1. Определение и примеры случайных величин
5.2. Возможные и наблюденные значения случайной величины
5.3. Типы случайных величин
5.4. Закон распределения вероятностей случайной величины. Генеральная совокупность и выборка из нее
5.4.1. Закон распределения вероятностей.
5.4.2. Генеральная совокупность и выборка из нее.
5.4.3. Основные способы организации выборки.
5.5. Способы задания закона распределения: функция распределения, функция плотности и их выборочные (эмпирические аналоги)
5.5.1. Функция распределения вероятностей одномерной случайной величины.
5.5.2. Функция плотности вероятности одномерной случайной величины.
5.5.3. Многомерные функции распределения и плотности. Статистическая независимость случайных величин.
5.6. Основные числовые характеристики случайных величин и их выборочные аналоги
5.6.1. Понятие о математических ожиданиях и моментах.
5.6.2. Характеристики центра группирования значений случайной величины.
5.6.3. Характеристики степени рассеяния случайной величины.
5.6.4. Вариационный ряд и порядковые статистики.
5.6.5. Квантили и процентные точки распределения.
5.6.6. Асимметрия и эксцесс.
5.6.7. Основные характеристики многомерных распределений (ковариации, корреляции, обобщенная дисперсия и др.).
Выводы
Глава 6. МОДЕЛИ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, НАИБОЛЕЕ РАСПРОСТРАНЕННЫЕ В ПРАКТИКЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИИ
6.1. Законы распределения, используемые для описания механизмов реальных процессов или систем
6.1.2. Гипергеометрическое распределение.
6.1.3. Распределение Пуассона.
6.1.4. Полиномиальное (мультиномиальное) распределение.
6.1.5. Нормальное (гауссовское) распределение.
6.1.6. Логарифмически-нормальное распределение.
6.1.7. Равномерное (прямоугольное) распределение.
6.1.8. Распределение Вейбулла и экспоненциальное (показательное).
6.1.9. Распределение Парето.
6.1.10. Распределение Коши.
6.1.11. Некоторые комбинации основных модельных распределений, используемые в прикладной статистике.
6.2. Законы распределений вероятностей, используемые при реализации техники статистических вычислений
6.2.1. «хи квадрат»-распределение.
6.2.2. Распределение Стьюдента (t-распределение).
6.2.3. F-распределение (распределение дисперсионного отношения).
6.2.4. Замечание о нецентральных «хи-квадрат» и F- и t-распределениях.
6.2.5. Г-распределение.
6.2.6. В-распределение.
6.3. Техника статистического моделирования наблюдений, подчиняющихся заданному распределению
6.3.1. Получение равномерно распределенных на отрезке [0, 1] случайных чисел.
6.3.2. Моделирование дискретных случайных величин.
Выводы
Глава 7. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
7.1. Неравенство Чебышева
7.2. Свойство статистической устойчивости выборочных характеристик: закон больших чисел и его следствия
7.2.1. Закон больших чисел.
7.2.2. Теорема Я. Бернулли.
7.2.3 Статистическая устойчивость выборочных характеристик.
7.3. Особая роль нормального распределения: центральная предельная теорема
7.3.1. Центральная предельная теорема.
7.3.2. Многомерная центральная предельная теорема.
7.4. Закон распределения вероятностей случайных признаков, являющихся функциями от известных случайных величин
Выводы
Раздел III. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Глава 8. СТАТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
8.1. Начальные сведения о задаче статистического оценивания параметров
8.1.2. Статистики, статистические оценки, их основные свойства.
8.1.3. Состоятельность.
8.1.4. Несмещенность.
8.1.5. Эффективность.
8.2. Функция правдоподобия. Количество информации, содержащееся в n независимых наблюдениях относительно неизвестного значения параметра
8.3. Неравенство Рао—Крамера—Фреше и измерение эффективности оценок
8.4. Асимптотические свойства оценок
8.5. Понятие об интервальном оценивании. Построение доверительных областей
8.6. Методы статистического оценивания неизвестных параметров
8.6.1. Метод максимального (наибольшего) правдоподобия.
8.6.2. Метод моментов.
8.6.3. Метод наименьших квадратов.
8.6.4. Оценивание с помощью «взвешенных» статистик; цензурирование, урезание выборок и порядковые статистики как частный случай взвешивания.
8.6.5. Построение интервальных оценок (доверительных областей).
8.6.6. Байесовский подход к статистическому оцениванию.
Выводы
Глава 9. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ (статистические критерии)
9.1. Основные типы гипотез, проверяемых в ходе статистической обработки данных
9.1.1. Гипотезы о типе закона распределения исследуемой случайной величины.
9.1.2. Гипотезы об однородности двух или нескольких обрабатываемых выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей.
9.1.3. Гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности.
9.1.4. Гипотезы о типе зависимости между компонентами исследуемого многомерного признака.
9.1.5. Гипотезы независимости и стационарности обрабатываемого ряда наблюдений.
9.2. Общая логическая схема статистического критерия
9.3. Построение статистического критерия; принцип отношения правдоподобия
9.3.1. Сущность принципа отношения правдоподобия.
9.3.2. Проверка простой гипотезы с помощью критерия логарифма отношения правдоподобия.
9.3.3. Проверка сложной гипотезы.
9.4. Характеристики «качества» статистического критерия
9.5. Последовательная схема принятия решения (последовательные критерии)
9.5.1. Последовательная схема наблюдений.
9.5.2. Последовательный критерий отношения правдоподобия (критерий Вальда) и его свойства.
9.5.3. Различение сложных гипотез в схеме обобщенного последовательного критерия.
Выводы
Раздел IV. ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ
10.1. Документирование исследования; организация ввода и хранения данных в ЭВМ; просмотр данных
10.1.2. Ввод и хранение данных.
10.1.3. Просмотр данных.
10.2. Шкалы измерений
10.3. Изучение эмпирических распределений
10.3.1. Гистограмма.
10.3.2. Непараметрические оценки плотности.
10.3.3. Оценки функции распределения.
10.3.4. Преобразование переменных.
10.3.5. Таблицы сопряженности.
10.4. Оценивание параметров сдвига и масштаба
10.4.2. Оценивание параметров нормального закона.
10.4.3. Графический метод оценивания.
10.4.4. Проблема устойчивости оценок при небольших отклонениях распределения от нормального.
10.4.5. Оценивание положения центра симметричных распределений.
10.4.6. Параметризация с помощью экспоненциально взвешенных оценок (ЭВ-оценки).
10.5. Визуализация многомерных данных
10.5.2. Главные компоненты.
10.5.3. Свойства наименьшего искажения геометрической структуры для главных компонент.
10.5.4, Нелинейные отображения в пространство малой размерности.
10.5.5. Многомерное метрическое шкалирование.
Выводы
Глава 11. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПРИРОДЫ ДАННЫХ
11.1. Проверка соответствия выбранной модели распределения исходным данным (критерии согласия)
11.1.1. Критерий «хи-квадрат» Пирсона.
11.1.2. Проверка нормального характера распределения по асимметрии, эксцессу и средним отклонениям.
11.1.3. Критерий Колмогорова — Смирнова и его применение к построению доверительных границ для неизвестной функции распределения.
11.1.4. Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова.
11.1.5. Модификация статистик критериев Колмогорова — Смирнова и для выборок небольшого объема.
11.1.6. Статистическая техника практической реализации непараметрических критериев согласия.
ll.1.7. Использование критериев согласия Колмогорова и «w-квадрат» в случае неизвестных параметров для проверки гипотезы о нормальном характере распределения.
11.2. Проверка гипотез однородности и симметрии распределения
11.2.1. Критерии однородности, основанные на эмпирических функциях распределения.
11.2.2. Критерий однородности «хи-квадрат»
11.2.3. Ранговые критерии однородности.
11.2.4. Непараметрическая проверка гипотезы равенства дисперсий.
11.2.5. Ранговые критерии для случая k > 2 классов.
11.2.6. Критерии проверки симметрии распределений.
11.2.7. Обработка совпадений.
11.2.8. Критерии однородности нормальных совокупностей (одномерный случай).
11.2.9. Критерии однородности многомерных нормальных совокупностей.
11.3. Проверка независимости и стационарности ряда наблюдений
11.3.1. Критерий серий, основанный на медиане выборки.
11.3.2. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий.
11.3.3. Критерий квадратов последовательных разностей (критерий Аббе).
11.4. Методы статистической обработки при наличии «стертых» (пропущенных) наблюдений
11.4.1. Оценивание неизвестных параметров при наличии пропущенных данных.
11.4.2. Использование главных компонент.
11.4.3. Заполнение «пропусков» и оценивание параметров с помощью метода максимального правдоподобия. Оценки «неподвижной точки».
11.4.4. Непараметрический подход к оценке пропусков в матрице данных.
11.5. Анализ резко выделяющихся наблюдений
11.5.2 Графические методы.
11.5.3. Аналитический метод исключения одного экстремального наблюдения.
11.5.4. Аналитический критерий одновременного исключения нескольких экстремальных наблюдений.
Выводы
Глава 12. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРИКЛАДНОЙ СТАТИСТИКИ И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕХНИКИ ВЫЧИСЛЕНИЙ
12.1. Программное обеспечение прикладной статистики
12.1.1. Организация пакетов программ.
12.1.2. Вопросы организации возможности ведения данных.
12.1.3. Средства предварительной обработки (манипуляции) данных.
12.1.4. Возможности обработки данных при наличии пропущенных значений.
12.1.5. Первичная обработка неколичественных данных.
12.1.6. Средства визуализации данных.
12.1.7. Оценивание параметров и выделение аномальных наблюдений.
12.2. Вычисление функций распределения и обратных к ним
12.2.1. Нормальное распределение.
12.2.2. Распределение «хи-квадрат».
12.2.3. Бета-распределение.
12.2.4. F-распределение.
12.2.5. t-распределение Стьюдента.
12.2.6. Нецентральные распределения.
12.2.7. Аппроксимация «хвостов» распределений типа «w-квадрат»
12.2.8. Многомерное нормальное распределение.
12.2.9. Дискретные распределения.
12.2.10. Вычисление математического ожидания порядковых статистик.
Выводы
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В КНИГЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ