6.2.2. Распределение Стьюдента (t-распределение).

Анализируя случайные отклонения выборочной средней от истинного среднего значения исследуемой случайной величины , английский статистик В. Госсет (писавший под псевдонимом «Стьюдент») получил в следующий результат. Пусть — независимые - нормально распределенные случайные величины. Тогда плотность распределения случайной величины

описывается функцией

Распределение (6.22) получило название распределения Стьюдента с степенями свободы (или t-распределения). Из выражения (6.22) следует, что функция плотности не зависит от дисперсии случайных величин и, кроме того, является унимодальной и симметричной относительно точки

Приведем несколько результатов, используемых при статистической обработке выборочных данных, извлеченных из нормальной генеральной совокупности.

1. Если — выборка, извлеченная из нормальной генеральной совокупности с параметрами — соответственно выборочная средняя и выборочная дисперсия, построенные по наблюдениям данной выборки, то случайная величина

подчинена распределению Стьюдента с степенями свободы. Этот результат используется при построении интервальных оценок для неизвестного значения параметра , а также при проверке статистической гипотезы о том, что данная выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности с заданным значением (см. гл. 8 и 9).

2. Если к условиям и исходным данным предыдущего примера добавить вторую выборку из той же самой генеральной совокупности (и вычисленные по ней выборочные среднее ) и дисперсию то следующая нормированная мера расхождения двух выборочных средних

подчиняется распределению Стьюдента с степенями свободы (общее среднее квадратическое отклонение ) в формуле (6.24) определяется соотношением

Этот результат используется при проверке однородности выборочных средних, вычисленных по двум различным выборкам, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей (см. п. 11.2.5).

Основные числовые характеристики t (-распределения: