12.2.8. Многомерное нормальное распределение.

Пусть Z — -компонентная случайная величина, имеющая многомерное нормальное распределение. Функция распределения многомерной случайной величины определяется как вероятность события . Для многомерной нормальной случайной величины с вектором средних М и матрицей ковариаций функцию распределения будем обозначать как . Двумерную функцию распределения при стандартных значениях параметров обозначим через , где — коэффициент корреляции. В двумерном случае для вычисления функции распределения имеются удобные при программной реализации формулы. Приведем формулу Оуэна [53]:

где

Вычисление в остальных квадрантах производится путем преобразования аргументов х и у к первому квадранту по формулам:

Различные аппроксимации функции приведены в [53].

В многомерном случае вычисление функции распределения состоит в вычислении -мерного интеграла от функции плотности. Методы вычисления основываются на разложении функции распределения в многомерные степенные ряды по коэффициентам корреляции [39], либо на сокращении размерности интеграла, либо на моделировании соответствующей многомерной случайной величины (метод Монте-Карло) с заданным законом распределения, либо на объединении этих двух подходов. Здесь мы рассмотрим лишь метод сокращения размерности интеграла, возможный при определенной структуре корреляционной матрицы.

Пусть есть матрица корреляций многомерного нормального распределения и пусть

(12.39)

Тогда

представляется в виде -кратного интеграла

В частном случае, когда все коэффициенты корреляции равны и неотрицательны, получим и

Важность рассмотренного метода объясняется тем, что довольно часто матрицу корреляций можно достаточно точно аппроксимировать с помощью соотношений вида (12.39), используя в качестве величин компоненты собственных векторов, отвечающих максимальным собственным значениям матрицы

Рассмотрим теперь некоторые результаты относительно вероятности попадания случайного вектора в области специального вида. В статистике часто возникает специальная задача вычисления многомерного нормального интеграла по области, в которой все компонент X положительны (принадлежат первому квадранту):

Хотя эта задача значительно проще общей, при решении ее для также возникают большие аналитические трудности [39]. Здесь приведем результаты для

Из формулы (12.40) следует, что если все равны, то

Простые результаты можно получить для вероятности попадания вектора X в эллипсоид вида

где — матрица ковариаций; — центр эллипсоида. Эта вероятность выражается через функцию распределения нецентрального закона (см. п. 12.2.6):