2.2.3. Вероятностно-статистический (или математико-статистический) способ принятия решения.

Этот способ как бы синтезирует инструментарий двух предыдущих, так как при выработке с его помощью окончательного вывода используются и накопленные в результате наблюдения за игрой исходные статистические данные (в виде относительных частот появления ситуаций «шесть» и «не шесть», которые, как мы помним, были равны, соответственно, 0,48 и 0,52), и теоретико-вероятностные модельные соображения. Однако модель, принимаемая в данном случае, менее жестка, менее ограниченна, она как бы настраивается на реальную действительность, используя для этого накопленную статистическую информацию. В частности, эта модель уже не постулирует правильность используемых костей, допуская, что центр тяжести игральной кости может быть и смещен некоторым специальным образом. Характер этого смещения (если оно есть) должен как-то проявиться в тех исходных статистических данных, которыми мы располагаем.

Однако читатель, владеющий вероятностностатистическим образом мышления, должен отдавать себе отчет в том, что полученные из этих данных величины относительных частот исходов «шесть» и «не шесть» дают лишь некоторые приближенные оценки истинных (теоретических) шансов той и другой ситуации: ведь подбрасывая, скажем, 10 раз даже идеально симметричную монету, мы можем случайно получить семь выпадений «гербов»; соответственно относительная частота выпадения «герба», подсчитанная по этим результатам испытаний, будет равна 0,7; но это еще не значит, что истинные (теоретические) шансы (вероятности) появления «герба» и другой стороны монеты оцениваются величинами соответственно 0,7 и 0,3 — эти вероятности, как мы знаем, равны 0,5. Точно так Же наблюденная нами в серии из ста игровых туров относительная частота исхода «не шесть» (равная 0,52) может отличаться от истинной (теоретической) вероятности того же события и, значит, может не быть достаточным основанием для выбора этой ситуации в игре! Весь вопрос в том, насколько сильно может отличаться наблюденная (в результате осуществления испытаний) относительная частота интересующего нас события от истинной вероятности появления этого события и как это отличие, т. е. погрешность зависит от числа имеющихся в нашем распоряжении наблюдений? (Интуитивно ясно, что, чем дольше мы наблюдали за игрой, т. е. чем больше общее число использованных нами наблюдений, тем больше доверия заслуживают вычисленные нами эмпирические относительные частоты , т. е. тем меньше их отличие от неизвестных нам истинных значений вероятностей ) Ответ на этот вопрос можно получить в нашем случае, если воспользоваться рядом модельных соображений: а) интерпретировать реализацию любого числа игровых партий как последовательность так называемых испытаний Бернулли, что означает, что результат каждого тура никак не зависит от результатов предыдущих туров, а неизвестная нам вероятность осуществления ситуации «не шесть» остается одной и той же на протяжении всех туров игры; б) использовать тот факт, что поведение случайно меняющейся (при повторениях эксперимента) погрешности приближенно описывается законом нормального распределения вероятностей со средним значением, равным нулю, и дисперсией, равной (см. § 6.1).

Эти соображения, в частности, позволяют оценить абсолютную величину погрешности которую мы можем допустить, заменяя неизвестную величину вероятности интересующего нас события (в нашем случае — исхода «не шесть») относительной частотой этого события, зафиксированной в серии из испытаний (в нашем случае ). Если же мы смогли численно оценить абсолютную величину возможной погрешности то естественно применить следующее правило принятия решения: если относительная частота появления исхода «не шесть» больше половины и продолжает превосходить 0,5 после вычитания из нее возможной погрешности то выгоднее ставить на «не шесть»; если относительная частота меньше половины и продолжает быть меньше 0,5 после прибавления к ней возможной погрешности то выгоднее ставить на «шесть»; в других случаях у наблюдателя нет оснований для статистического вывода о преимуществах того или иного выбора ставки в игре (т. е. надо либо продолжить наблюдения, либо участвовать в игре с произвольным выбором ставки, ожидая, что это не может привести к сколь-нибудь ощутимому выигрышу или проигрышу).

Приближенный подсчет максимально возможной величины этой погрешности, опирающийся на модельное соображение б) (т. е. теорему Муавра — Лапласа, см. § 7.3), дает в рассматриваемом примере, что с практической достоверностью, а именно с вероятностью 0,95, справедливо неравенство

Возведение (2.1) в квадрат и решение получившегося квадратного неравенства относительно неизвестного параметра дает

или, с точностью до величин порядка малости выше, чем

В данном случае (при ) получаем

Следовательно,

Таким образом, имеющиеся в нашем распоряжении наблюдения за исходами ста партий дают нам основания лишь заключить, что интересующая нас неизвестная величина вероятности исхода «не шесть» на самом деле может быть любым числом из отрезка [0,42; 0,62], т. е. может быть как величиной, меньшей 0,5 (и тогда надо ставить в игре на ситуацию «шесть»), так и величиной, большей 0,5 (и тогда надо ставить в игре на ситуацию «не шесть»).

Иначе говоря, читатель, воспользовавшийся вероятностно-статистическим способом решения задачи, вынужден будет прийти в данном случае к более осторожному выводу: ста партий в качестве исходного статистического материала оказалось недостаточно для вынесения надежного заключения о том, какой, из исходов игры являетдя более вероятным. Отсюда решение: либо продолжить роль «зрителя» до тех пор, пока область возможных значений для вероятности р, полученная из оценок вида (2.2), не окажется целиком лежащей левее или правее 0,5, либо вступить в игру, оценивая ее как близкую к «безобидной», т. е. к такой, в которой в длинной серии туров практически останешься «при своих».

Приведенный пример иллюстрирует роль и назначение теоретико-вероятностных и математико-статистических методов, их взаимоотношения. Если теория вероятностей предоставляет исследователю набор математических моделей, предназначенных для описания закономерностей в поведении реальных явлений или систем, функционирование которых происходит под влиянием большого числа взаимодействующих случайных факторов, то средства математической статистики позволяют подбирать среди множества возможных теоретико-вероятностных моделей ту, которая, в определенном смысле, наилучшим образом соответствует имеющимся в распоряжении исследователя статистическим данным, характеризующим реальное поведение конкретной исследуемой системы.