12.2.10. Вычисление математического ожидания порядковых статистик.

Пусть независимые одинаково распределенные случайные величины имеют непрерывное распределение с плотностью и функцией распределения Вариационным рядом называется совокупность этих же величин, расположенных в возрастающем порядке, и обозначаемая как

Статистику называют порядковой статистикой (подробно о порядковых статистиках см. п. 5.6.4).

Плотность распределения порядковой статистики:

Для порядковых статистик и плотности распределения вероятностей вида имеют место равенства

где не зависят от и могут быть найдены, например, интегрированием соответствующих функций (z и ) с плотностью . Дальше поэтому приводятся результаты для порядковых статистик при

Для приложений порядковых статистик в критериях проверки статистических гипотез (см. § 11.2) важную роль играют величины — значения величины математического ожидания порядковой статистики. Один из способов вычисления этих величин основан на преобразовании которое приводит к независимым случайным величинам, равномерно распределенным на (0,1). В силу монотонности этого преобразования имеем

Как следует из формулы для , величины подчиняются бета-распределению и

Отсюда приближенное значение

(12.45)

Более точную аппроксимацию можно получить, разлагая функцию в ряд Тейлора в окрестности значения Так, взяв три производные, получим для приближенного определения значений

где

Используя большее число членов ряда Тейлора и соответственно большее число моментов распределения можно получить и более точные формулы. Разложение (12.46) аналогично разложению Пирсона [39]. Для нормального распределения имеем, в частности, используя первые два члена (12.46),

(12.47)

Другой способ расчета приближенных значений состоит в замене правой части равенства (12.45) на

В частности, показано, что для порядковых статистик нормального распределения нужно брать