8.5. Понятие об интервальном оценивании. Построение доверительных областей

Вычисляя на основании имеющихся у нас выборочных данных оценку параметра , мы отдаем себе отчет в том, что на самом деле величина является лишь приближенным значением неизвестного параметра даже в том случае, когда эта оценка состоятельна (т. е. стремится к с ростом ), несмещенна (т. е. совпадаете в среднем) и эффективна (т. е. обладает наименьшей степенью случайных отклонений от ). Возникает вопрос: как сильно может отклоняться это приближенное значение (оценка) от истинного? В частности, нельзя ли указать такую величину , которая с «практической достоверностью (т. е. с заранее заданной вероятностью, близкой к единице) гарантировала бы выполнение неравенства ?

Или, что то же, нельзя ли указать такой интервал вида который с заранее заданной вероятностью (близкой к единице) накрывал бы неизвестное нам истинное значение искомого параметра? При этом заранее выбираемая исследователем вероятность, близкая к единице, обычно называется доверительной вероятностью, а сам интервал — доверительным интервалом (или интервальной оценкой, в отличие от точечных оценок ). Доверительный интервал по своей природе случаен (потому и идет речь о вероятности накрыть некоторую не известную нам, но не случайную точку ) как по своему расположению (ведь

— случайная величина), так и по своей длине (величина , как правило, тоже строится как функция выборочных данных ). Ширина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки (уменьшается с ростом ) и от величины доверительной вероятности (увеличивается с приближением доверительной вероятности к единице).

Все данные здесь определения и понятия без труда переносятся на случай векторного параметра с заменой доверительного интервала доверительной областью в соответствующем -мерном пространстве (см. очертания таких областей на рис. 8.1, а и б).