6.2.3. F-распределение (распределение дисперсионного отношения).

Анализируя поведение отношения двух выборочных дисперсий вычисленных по на блюдениям двух выборок: извлеченных из одной и той же нормальной генеральной совокупности, английский статистик Р. Фишер в 1924 г. пришел к распределению, которое в дальнейшем стали называть -распределением и которое может быть определено в общем случае следующим образом.

Рассмотрим независимых и -нормально распределенных величин и положим

Очевидно (см. п. 6.2.1), та же самая случайная величина может быть определена и как отношение двух независимых соответствующим образом нормированных - распределенных величин , т. е.

Можно показать, что плотность вероятности случайной величины задается функцией

где, как обычно, — значение гамма-функции Эйлера в точке , а сам закон называется -распределением с числами степеней свободы числителя и знаменателя, равными соответственно

При реализации статистических процедур обработки данных используются следующие результаты, связанные с -распределением.

1. Если - эмпирические дисперсии, построенные по независимым выборкам из одной и той же нормальной генеральной совокупности, то отношение подчиняется -распределению с числами степеней свободы

2. Пусть — выборка из -мерной нормальной генеральной совокупности с вектором средних и ковариационной матрицей и пусть — соответственно выборочный вектор средних и выборочная ковариационная матрица, построенные по данной выборке (см. п. 5.6.7). Тогда случайная величина

подчиняется -распределению. В выражении (6.26) множитель

является многомерным обобщением -статистики Стьюдента (6.23), используемой при проверке гипотезы о величине среднего значения, и может быть интерпретирован как характеристика геометрической удаленности (в смысле метрики махаланобисовского типа, см. [12, с. 80]) выборочного среднего от соответствующего теоретического значения М.

3. Дополним рассмотренные выше условия и данные второй выборкой из той же самой -мерной нормальной генеральной совокупности и соответствующими ей эмпирическими характеристиками: вектором средних и ковариационной матрицей Введем в рассмотрение эмпирическую ковариационную матрицу построенную по двум имеющимся у нас выборкам:

Многомерным аналогом t-статистики (6.24), используемой для проверки однородности двух выборочных средних, будет величина

причем случайная величина

оказывается распределенной по закону -распределения.

Основные числовые характеристики -распределения:

Отсюда непосредственно следует, что при -распределение всегда имеет модальное значение, меньшее единицы, и среднее значение, большее единицы. Это означает, в частности, что данное распределение имеет положительную асимметрию не только при (что вытекает из вида ), но и при

Р. Фишером данный тип распределений выводился не для случайной величины а для ее натурального логарифма (поделенного пополам), т. е. для случайной величины Распределение этой случайной величины часто называют -распределением Фишера. Однако в современной статистической практике предпочитают использовать -распределение, обладающее более простыми свойствами.