8.6.2. Метод моментов.

Пусть, как и прежде, — исследуемая -мерная случайная величина, подчиняющаяся закону распределения где функция — плотность вероятности, если непрерывна, и вероятность если дискретна, зависит от некоторого, вообще говоря, многомерного параметра . И пусть мы хотим оценить неизвестное значениехэтого параметра, т. е. построить оценку 0 по имеющейся в нашем распоряжении выборке, состоящей из независимых наблюдений где

Метод моментов заключается в приравнивании определенного количества выборочных моментов к соответствующим теоретическим (т. е. вычисленным с использованием функции моментам исследуемой случайной величины, причем последние, очевидно, являются функциями от неизвестных параметров Рассматривая количество моментов, равное числу k подлежащих оценке параметров, и решая полученные уравнения относительно этих параметров, мы получаем искомые оценки. Таким образом, оценки по методу моментов неизвестных параметров являются решениями системы уравнений:

(очевидно, если анализируемая случайная величина дискретна, интегралы в левых частях (8.25) следует заменить соответствующими суммами типа

Число уравнений в системе (8.25) должно быть равным числу k оцениваемых параметров. Вопрос о том, какие именно моменты включать в систему (8.25) (начальные, центральные или их некоторые модификации типа коэффициентов асимметрии или эксцесса), следует решать, руководствуясь конкретными целями исследования и сравнительной простотой формы зависимости альтернативных теоретических характеристик от оцениваемых параметров . В статистической практике дело редко доходит даже до моментов четвертого порядка (исключение составляет, пожалуй, практика эксплуатации так называемой «системы кривых Пирсона», см., например, [16, с. 101], однако этот чисто формальный аппарат подгонки эмпирического распределения под одну из теоретических кривых практически не в состоянии, с нашей точки зрения, решать сколь-нибудь интересные задачи содержательного статистического анализа данных).

К достоинствам метода моментов следует отнести его сравнительно простую вычислительную реализацию, а также то, что оценки, полученные в качестве решений системы (8.25), являются функциями от выборочных моментов. Это упрощает исследование статистических свойств оценок метода моментов: можно показать (см. [48, гл. 27 и 8]), что при довольно общих условиях распределение оценки такого рода при больших асимптотически-нормально, среднее значение такой оценки отличается от истинного значения параметра на величину порядка , а стандартное

отклонение асимптотически имеет вид , где с — некоторая постоянная величина.

В то же время, как показал Р. Фишер (см. [48]), асимптотическая эффективность оценок, полученных методом моментов, оказывается, как правило, меньше единицы, и в этом отношении они уступают оценкам, полученным методом максимального правдоподобия. Тем не менее метод моментов часто очень удобен на практике. Иногда оценки, получаемые с помощью метода моментов, принимаются в качестве первого приближения, по которому можно определять другими методами оценки более высокой эффективности.

Вернемся к нашим примерам.

В примере 8.3 в качестве системы (8.25) имеем:

что дает уже знакомые нам по методу максимального правдоподобия оценки для параметров:

Нормальное распределение, так же как и распределение Пуассона (в чем легко убедиться, обратившись к примеру 8.4), относится к тем редким случаям, когда оценки по методу моментов совпадают с оценками по методу максимального правдоподобия.

Построение системы (8.25) в примере 8.5 дает:

Откуда легко получаем оценки:

Можно сравнить асимптотическую эффективность оценок, полученных методом максимального правдоподобия и методом моментов: учитывая, что дисперсия оценок (8.26) как дисперсия функций выборочных моментов имеет порядок (см. [48, с. 388]), и принимая во внимание соотношение (8.22), в соответствии с которым дисперсии оценок по методу максимального правдоподобия тех же параметров имеют порядок получаем, что эффективность в сравнении с эффективностью и стремится к нулю при

Реализация метода моментов в примере 8.6 дает

Следовательно,

Для подсчета среднего значения и дисперсии оценки воспользуемся следующими фактами: а) случайную величину распределенную экспоненциально с параметром и с параметром сдвига (см. п. 6.1.8), можно интерпретировать как частный случай гамма-распределенной случайной величины с параметрами и с параметром сдвига (см. п. 6.2.5); б) сумма независимых случайных величин каждая из которых распределена по закону гамма с параметрами и с параметром сдвига , подчиняется гамма-распределению с параметрами и с тем же самым параметром сдвига (см. п. 6.2.5). Поэтому

Учитывая выражение (8.24) для среднего квадрата ошибки «подправленной» оценки по методу максимального правдоподобия того же параметра , получаем

т. е. и в этом случае асимптотическая эффективность оценки по методу моментов стремится к нулю.