14.6. АНАЛОГОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ

14.6.1. Постановка задачи.

Пусть на интервале наблюдается реализация случайного процесса некоторые характеристики которого, например моментные функции, содержат неизвестные параметры Задача состоит в том, чтобы найти оценки этих параметров в виде функционалов от непрерывно наблюдаемой реализации

(14.130)

Каждый функционал представляет случайную величину, распределение которой связано с вероятностными характеристиками случайного процесса

Как уже подчеркивалось в конце п. 13.9.1, предела функции правдоподобия, когда размер выборки неограниченно возрастает, не существует. Это, казалось бы, создает препятствия для формального обобщения изложенных результатов теории дискретных алгоритмов оценивания на аналоговые алгоритмы, в которых используются функционалы от реализаций случайных процессов. Чтобы преодолеть это препятствие, вместо несуществующего функционала правдоподобия вводится функционал отношения правдоподобия

(14.131)

где — некоторое фиксированное значение параметра . В регулярном случае

Для синтеза аналоговых алгоритмов оценивания, оптимальных по рассмотренным критериям качества, следует учесть замечания, приведенные в п.п. 14.3.1 и 14.4.4 [см. (14.64 а) и (14.80 б)], замене функции правдоподобия статистикой отношения правдоподобия.

Тогда оптимальные аналоговые алгоритмы получаются предельным переходом [см. (14.131)] из дискретных алгоритмов оценивания при неограниченном увеличении размера выборки.

14.6.2. Несмещенность и эффективность оценок.

Оценка параметра называется несмещенной, если , где символ означает усреднение по множеству реализаций. Величина

(14.132)

называется смещением.

Информация по Фишеру об оцениваемом параметре , содержащаяся в реализации случайного процесса, определяется по формуле

Нижнюю границу дисперсии оценки получаем из неравенства Рао — Крамера [см. (14.40)]

(14.134)

Оценка, для которой в (14.134) достигается равенство, называется эффективной.

14.6.3. Оптимальные аналоговые алгоритмы оценивания.

Если параметр — неизвестная константа, то, используя критерий максимального правдоподобия

(14.135)

получаем уравнение максимального правдоподобия

(14.136)

которое при условии

(14.136 а)

определяет оценку максимального правдоподобия [см. (14.68), (14.68 а)].

Если параметр случайный и известна его априорная плотность вероятности , то апостериорная плотность вероятности параметра по наблюдаемой реализации случайного процесса

(14.137)

Оценка по критерию максимума апостериорной плотности находится из уравнения [ом. (14.72)]

(14.138)

при условии

(24.138 а)

Апостериорный риск , получим усреднением функции потерь по апостериорной плотности (14.137):

(14.139)

Байесовская оценка определяемая из условия минимума апостериорного риска (14.139) для четных функций потерь и для унимодальных и симметричных относительно моды апостериорных плотностей вероятности оцениваемого параметра, имеет вид [см. (14.80) и (14.80 а)]

(14.140)

или

Заметим, что знаменатель в правой части (14.140 а) представляет усредненный по априорному распределению параметра функционал отношения правдоподобия.

Естественным образом приведенные определения и соотношения обобщаются на совместные оценки компонент векторного параметра.