18.5. АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ОБНАРУЖЕНИЯ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ КОРРЕЛИРОВАННОЙ ПОМЕХИ

18.5.1. Синтез алгоритма.

Рассмотрим задачу обнаружения квазидетерминированного сигнала , где определяется согласно (18.69), на фоне аддитивной -связной марковской помехи. Если выполнены условия теоремы 3 (см. п. 17.4.3), то при фиксированном -мерном векторе с параметров сигнала асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия (при ) имеет следующий вид:

(18.102)

где - векторная статистика с компонентами

(18.103)

причем, как и в (18.47), компонента вектора f определяется согласно (17.30). Матрица В составлена из элементов

(18.104)

где — информационная матрица Фишера [см. (17.66)], а элементы матрицы

(18.105)

где — интервал временной дискретизации.

Статистика асимптотически нормальна и при гипотезе Я, и при альтернативе К. Параметры предельного распределения этой статистики равны при гипотезе и при альтернативе соответственно.

Усредненное по случайным параметрам сигнала отношение правдоподобия [см. (18.102)]

(18.106)

Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения квазидетерминированного сигнала на фоне аддитивной конечносвязной марковской можно записать, использовав решающую функцию (см. п. 13.1.2): сигнал присутствует, если

(18.107 а)

сигнала нет, если

(18.1076)

Порог с и константа y определяются заданными вероятностями а ложной тревоги и правильного обнаружения из системы двух уравнений

(18.108)

18.5.2. Структурная схема алгоритма.

Асимптотически оптимальный обнаружитель квазидетерминированного сигнала на фоне многосвязной марковской помехи состоит из тех же блоков, которые изображены на рис. 18.8. Однако в этом случае более сложным является вычислитель компонент векторной статистики [см. (18.103)]. По входной реализации наблюдаемого процесса формируется векторная выборка которая используется для получения значений . Эта общая часть вычислителя не отличается от вычислителя на рис. 18.9. При помощи генераторов базисных функций формируются векторы которые совместно с компонентами используются в однотипных коррелометрах для вычисления корреляционных сумм Вычисления повторяем для всех значений индекса затем суммируем и в результате получаем значения компонент (18.103).

18.5.3. Нормальное распределение случайных параметров сигнала.

Предположим, что совместная плотность распределения параметров сигнала — нормальная с нулевым средним и корреляционной матрицей D. Нетрудно показать (см. [18, с. 172]), что в этом случае усредненное отношение правдоподобия монотонно зависит от статистики

(18.109)

где

(18.109 а)

Следовательно, асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения квазидетерминированного сигнала в рассматриваемом случае можно записать в виде

(18.110)

причем константы с и у находятся из системы уравнений

(18.111 а)

Как известно (см., например, [58, с. 478]), существует ортогональное преобразование квадратичной формы в сумму квадратов с коэффициентами, определяемыми корнями характеристического уравнения

(18.112)

где I — единичная матрица. Алгоритм (18.110) преобразуется при этом к виду

(18.113)

где — совокупность независимых гауссовских случайных величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями.

18.5.4. Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения модулированного сигнала со случайной фазой.

Рассмотрим задачу обнаружения сигнала где определяется согласно (18.90), а функции и компоненты вектора случайных параметров сигнала — согласно (18.91 а-в). Тогда [см. (18.105)]

(18.1146)

Элементы матрицы В [см. (18.104)]

и квадратичная форма

(18.116)

Компоненты векторной статистики [см. (18.103)]

(18.117 а)

Усредняя отношение правдоподобия по случайным параметрам, получаем [ом. (18.95)]

(18.118)

Используя фильтрующее свойство дельта-функции, выполняем интегрирование по переменной а затем, заменяя coscp, приводим выражение (18.118) к виду

(18.119)

Из (18.119) следует, что усредненное отношение правдоподобия является монотонной функцией статистики

Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения модулированного сигнала со случайной равномерно распределенной фазой на фоне аддитивной -связной марковской помехи имеет вид неравенства

(18.121)

левая часть которой определена в (18.120).

Компоненты векторной статистики асимптотически нормальны, а при гипотезе — независимые, центрированные с одинаковыми дисперсиями, равными b [см. (18.115 а)]. Поэтому при заданной вероятности а ложной тревоги порог с в (18.121) определяется из соотношения [ср. с (18.99)]:

(18.122)

При альтернативе К указанные компоненты также асимптотически нормальны, независимы, их средние значения равны а дисперсии равны b. Следовательно, при альтернативе статистика К подчиняется нецентральному -распределению с двумя степенями свободы и параметром нецентральности . Вероятность правильного обнаружения

(18.123 а)

откуда получаем [ср. с (18.101)}

(18.123 б)