15.3.5. Отношение сигнал-помеха на выходе оптимального фильтра.

Оптимальность использования фильтра с характеристикой (15.95) для обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи можно объяснить и с другой точки зрения. Для этого рассмотрим отношение квадрата сигнала на выходе произвольного линейного фильтра в конце наблюдения

(15.105 а)

к дисперсии помехи на выходе фильтра

(15.105 б)

где — импульсная характеристика фильтра, — корреляционная функция помехи.

Рис. 15.9. Реакция согласованного фильтра на входной импульс

Рис. 15.8. Сигнальная функция (а) и импульсная характеристика (б) согласованного фильтра

Величину называют отношением сигнал-помеха. Так как для любого фильтра , то

или

(15.105 в)

причем знак равенства соответствует максимальному отношению сигнал-помеха. Нетрудно проверить, что левая часть (15.105в) обращается в нуль для функции удовлетворяющей интегральному уравнению

(15.106)

причем

(15.107)

Уравнение (15.106) при не отличается от (15.87) и, следовательно, определяет импульсную характеристику оптимального фильтра, а параметр рабочей характеристики оптимального алгоритма обнаружения совпадает при этом с максимальным отношением сигнал-помеха с (15.90)].

Для белого шума с интенсивностью из (15.107) следует

т. е. максимальное отношение сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра равно отношению энергии сигнала на интервале (0, Т) к спектральной плотности N о шума.

Заметим, что в конце интервала наблюдения t=T реакция согласованного фильтра на входной сигнал s(t) максимальна [см. (15.105а) и рис. 15.9].

Обозначая мощность сигнала и мощность шума в полосе F, запишем (15.107 а) в виде

(15.108)

Величину называют базой сигнала.

Формулу (15.107) можно выразить через спектральные характеристики сигнала и помехи:

(15-109)

где — спектральная плотность мощности помехи. Для белого шума из (15.109) следует