Часть вторая. СИНТЕЗ

Глава 12. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ СТАТИСТИЧЕСКОГО СИНТЕЗА

12.1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

12.1.1. Проблема априорной неопределенности.

Основой излагаемой в этой книге теории и ее приложений являются математические модели реальных явлений — распределения вероятностей случайных событий, случайных величин и случайных процессов. Полнота модели определяется априорными данными, накопленными предыдущим опытом и дополненные интуицией ученых и инженеров.

Рассмотренные ранее задачи решались методами теории вероятностей и теории случайных процессов в предположении, что математическая вероятностная модель исследуемых процессов полностью определена, т. е. известны точно все необходимые по условию задачи распределения вероятностей. Это были типовые задачи вероятностного анализа процесса на выходе системы, когда на входе действует случайный процесс при условии, что заданы как характеристики системы, так и требуемые вероятностные характеристики входного процесса.

Однако более сложной и чаще возникающей ситуацией, с которой встречается исследователь физических явлений или разработчик технической системы, является априорная неопределенность, t когда вероятностная математическая модель изучаемого явления или процессов, протекающих в системе, неизвестна или определена не полностью. Преодоление априорной неопределенности — существо многих задач, решаемых в естествознании и технике. Прием сигналов на фоне случайных помех представляет типичный пример задач подобного рода в системах связи, радиолокации, управления. При постановке задач, решаемых в таких системах, ситуация неопределенности характеризуется отсутствием сведений о сообщении, которое закодировано в переданном сигнале.

Методы преодоления априорной неопределенности — предмет математической статистики.

«Сырьем» для формирования статистических выводов о неизвестных характеристиках вероятностной математической модели всегда служат результаты эксперимента, наблюдений, испытаний. Задача статистического синтеза — построение алгоритмов обработки наблюдаемых экспериментальных данных для получения указанных статистических выводов.

Таким образом, решение задачи анализа обусловлено полностью определенной (априори) вероятностной моделью исследуемого случайного процесса, а решение задачи статистического синтеза — наличием хотя бы одной реализации этого процесса, которая дополняет эту модель, когда не все ее характеристики известны.

12.1.2. Основные виды задач математической статистики.

Исследуется физическое явление или технический объект, математическую модель которых представляет случайный процесс с неполностью известными характеристиками. Относительно неизвестных характеристик модели выдвигаются взаимно несовместимые гипотезы . Задача проверки статистических гипотез состоит в принятии одной из них по результатам наблюдения реализации случайного процесса . Другим видом задач математической статистики является оценивание неизвестных параметров распределения вероятностей случайного процесса с помощью реализации этого процесса, наблюдаемой на конечном интервале времени (0, Т).

На практике указанные два вида задач математической статистики — проверка гипотез и оценивание — рассматриваются раздельно. В общей теории статистических решений в таком разделении нет необходимости. Но на практике иногда необходимо учитывать взаимосвязь обоих видов задач и формулировать эту взаимосвязь как совместную проверку гипотез и оценивание параметров.

Приведенные определения задач математической статистики нельзя считать их полной постановкой, хотя они и используют некоторые априорные сведения и включают простейшие элементы понимания смысла задач. Для такой постановки и формулировки необходимых ограничений требуется подробно рассмотреть априорные данные.