16.7.1. Коэффициент асимптотической относительной эффективности алгоритма Вилкоксона.

Вычисление среднего и дисперсии при альтернативе для произвольной функции представляет трудную задачу.

Ограничимся линейным ранговым алгоритмом Вилкоксона (16.34) и перепишем его в виде [см. (13.168 а)]

(16.40)

Найдем среднее значение при альтернативе К:

где - плотность вероятности (необязательно симметричная) и функция распределения стационарной аддитивной помехи. Раскладывая в ряде по степеням а, получаем

(16.41)

Из (16.40) и (16.41) следует, что при

При том же условии [см. (16.37)]

(16.43)

Тогда, с учетом асимптотической нормальности статистики вероятность пропуска сигнала при использовании алгоритма Вилкоксона (16.34):

(16.44)

где в соответствии с (16.39) порог

(16.45)

Из (16.44) и (16.45) находим асимптотическую рабочую характеристику алгоритма Вилкоксона

Теперь, используя (16.46) и (16.16), нетрудно записать выражение для КАОЭ алгоритма обнаружения Вилкоксона (16.34) по отношению к линейному алгоритму (16.13)

(16.47)

где — дисперсия помехи,

Если , то и тогда

Отношение коэффициентов асимптотической относительной эффективности алгоритма (16.34) для сигналов с ненулевой постоянной составляющей и узкополосного с нулевой постоянной составляющей

(16.476)

Следовательно, эффективность рангового алгоритма (16.34) при обнаружении нецентрированного сигнала по сравнению с эффективностью алгоритма при обнаружении центрированного сигнала уменьшается на значение, равное отношению квадрата постоянной составляющей к мощности сигнала. Ясно, что (так как ), причем при постоянном сигнале

Наконец, сравним ранговый алгоритм (16.34) со знаково-ранговым (16.19). Из (16.31) и (16.47) следует, что коэффициент асимптотической относительной эффективности рангового алгоритма по отношению к знаково-ранговому равен

(16.48)

Из (16.48) следует, что при что соответствует уже отмеченной нулевой эффективности знаково-рангового алгоритма при обнаружении сигнала без постоянной составляющей. Напротив, при исчезающе малой становится эффективность рангового алгоритма по отношению к знаково-ранговому. При граничном значении отношения квадрата постоянной составляющей к мощности сигнала [см. (16.48)], , т. е. эффективность обоих рассматриваемых алгоритмов одинакова.

Таким образом, для обнаружения детерминированного сигнала при более эффективен ранговый алгоритм, а при более эффективен знаково-ранговый. Однако при использовании алгоритма Вилкоксона относительно центрированного сигнала, т. е. алгоритма

(16.49)

КАОЭ такого алгоритма по отношению к знаково-ранговому равен

Иначе говоря, ранговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала эффективнее знаково-рангового.