Глава 11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА В НЕЛИНЕЙНЫХ ИНЕРЦИОННЫХ СИСТЕМАХ

11.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

Задача определения вероятностных характеристик случайного процесса на выходе нелинейной инерционной системы в общем виде практически неразрешима. При этом возникают трудности двоякого рода. Во-первых, достаточно сложно записать функционал, представляющий характеристику «вход-выход» системы в замкнутом виде [см. (6.5) ] или в форме усеченного ряда Вольтерра [см. (6.9)]. Во-вторых, если на вход системы действует негауссовский случайный процесс, то не удается получить точного решения задачи об определении распределения на выходе даже линейной инерционной системы (см. п. 7.3.1). Поэтому приходится рассматривать задачи о преобразованиях случайных процессов в нелинейных системах при дополнительных ограничениях.

Как отмечалось в п. 6.4.1, характерным для многих этапов работы радиотехнических устройств является преобразование сигналов, представляющих, вообще говоря, случайные процессы в типовом звене, состоящем из трех последовательных элементов: входной линейной системы, нелинейного неинерционного элемента и выходной линейной системы (фильтра).

Если на входе типового звена действует гауссовский случайный процесс, то определение спектральной плотности мощности процесса на его выходе не встречает принципиальных затруднений. После входной линейной системы распределение процесса остается нормальным, а спектр деформируется в соответствии с формой частотной характеристики этой линейной системы. В результате нелинейного преобразования функции распределения процесса перестают быть нормальными, но спектр преобразованного процесса все же можно определить, пользуясь одним из методов, подробно изложенных в гл. 8. После этого достаточно учесть селективное действие выходной линейной системы (см. п. 7.2.1). Однако во многих случаях знание спектральной плотности мощности процесса на выходе типового звена оказывается недостаточным, необходимы более детальные характеристики случайных процессов, какими являются функции распределения. Определение распределения процесса на выходе типового звена даже при гауссовском входном процессе связано с указанными трудностями: определением плотности вероятности на выходе линейного фильтра при негауссовском входном процессе. В тех случаях, когда процесс на входе типового звена негауссовский, эти затруднения появляются уже на первом этапе исследования.

Они могут помешать решению задачи не только определения распределения, но даже и нахождения корреляционной функции и спектральной плотности мощности процесса после нелинейного элемента, так как для этого должна быть задана двумерная плотность вероятности случайного процесса на выходе предшествующей линейной системы.

Известно лишь небольшое число точных решений задачи об определении распределения процесса на выходе типового звена, полученных при специальных предположениях о характеристиках элементов типового звена и о виде случайного процесса на входе. Рассмотрим методы решения следующих трех типов таких задач:

1. Случайный процесс на входе представляет собой сумму детерминированного сигнала и стационарного гауссовского процесса с равномерным спектром («белый шум»), а характеристика нелинейного элемента квадратичная. В этом случае рассматриваемая задача допускает следующую радиотехническую интерпретацию. На входе усилителя промежуточной частоты (УПЧ) действуют детерминированный сигнал и аддитивный флуктуационный шум. Сигнал с шумом подвергается квадратичному детектированию и последующей фильтрации. Для большей определенности в изложении сохраняется терминология, связанная с этой специальной задачей. Рассматриваются два УПЧ: широкополосный и узкополосный (ширина полосы частотной характеристики много меньше центральной частоты). В первом случае процесс после нелинейного преобразования принимается равным квадрату случайного процесса на выходе УПЧ, а во втором — квадрату огибающей случайного процесса на выходе УПЧ (отбрасывается высокочастотная составляющая процесса).

2. На вход фильтра действует произведение двух коррелированных стационарных гауссовских процессов. Необходимо определить функцию распределения процесса на выходе фильтра. К решению этой задачи сводится исследование распределения процесса на выходе коррелятора при конечном времени интегрирования, т. е. величины

если — стационарные гауссовские процессы.

3. Средняя мощность эргодического гауссовского процесса за конечное время усреднения Т

Необходимо определить функцию распределения случайной величины