16.1.2. Знаковый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала.

Рассмотрим сформулированную в п. 16.1.1 задачу обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной однородной, независимой помехи при дополнительном предположении, что плотность распределения помехи симметрична и среднее значение помехи равно нулю.

Рис. 16.1. Схемы знаковых обнаружителей детерминированного сигнала

В этом случае для обнаружения сигнала можно использовать следующий знаковый (цифровой) непараметрический алгоритм: принимается решение, что сигнал присутствует (отвергается гипотеза ), если

и решение, что сигнала нет, если выполняется неравенство, противоположное (16.2). В (16.2) использованы обозначения — такие же, как в (16.16), а — функция единичного скачка. Порог с определяется заданной вероятностью а ложных тревог. Схема знакового обнаружителя детерминированного сигнала, функционирующего согласно алгоритму (16.2), приведена на рис. 16.1, а. Неравенство (16.2) можно переписать в виде [см. (13.165)]

Из (16.3) следует, что в структурной схеме знакового обнаружителя операция умножения может следовать после ограничения наблюдаемого процесса и детерминированного сигнала (см. рис. 16.1,6).

Характеристическую функцию статистики (16.3) можно записать и при гипотезе Н (сигнала нет), и при альтернативе К (сигнал присутствует). Обозначим

(16.46)

При гипотезе Так как характеристическая функция случайной величины при альтернативе К

то из (16.3) находим характеристическую функцию статистики при альтернативе К

Характеристическая функция статистики в (16.3) при гипотезе получается из (16.5), когда

или

Из (16.66) следует, что распределение статистики в (16.3) при гипотезе Н не зависит от распределения помехи и подчиняется биномиальному распределению с параметрами Тогда для определения порога с в алгоритме (16.3) можно использовать формулу (13.177), а при - формулу (13.180). Таким образом, цифровой алгоритм (16.3) обнаружителя детерминированного сигнала — непараметрический.

Используя (3.71 а), получаем, дифференцируя логарифм характеристикой функции (16.5), среднее и дисперсию статистики при альтернативе К:

При гипотезе и как для биномиального распределения с параметрами . Когда амплитуда сигнала мала, из (16.4 а) находим

и тогда из (16.7) и (16.8), пренебрегая малыми о (Я), получаем

(16.10 б)

При знаковая статистика в (16.3) асимптотически нормальная с параметрами, определяемыми по формулам (16.10 а) и (16.10 б) для слабого сигнала. Вероятность пропуска сигнала при этих условиях

(16.11)

где

(16.11 а)

Порог с определяется по формуле (13.180):

(16.11 б)

— процентная точка нормального распределения.

Соотношение (16.11) определяет асимптотическую (при ) рабочую характеристику рассматриваемого знакового алгоритма обнаружения детерминированного сигнала, которую с учетом (16.116) можно переписать в виде

(16.12)

где - процентные точки нормального распределения.