21.2. БАЙЕСОВСКИЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ АМПЛИТУДЫ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ АДДИТИВНОЙ ГАУССОВСКОЙ ПОМЕХИ

21.2.1. Постановка задачи и общее решение.

Предположим, что на интервале (0, Т) наблюдается реализация случайного процесса, представляющего смесь случайной помехи с квазидетерминированным сигналом амплитуда а которого случайна с известной плотностью распределения .

Необходимо, используя реализацию , синтезировать оптимальную по байесовскому критерию оценках амплитуды сигнала. В соответствии с (14.140) общее решение этой задачи представляет апостериорное среднее значение оцениваемой амплитуды сигнала, т.

(21.64)

где

(21.65)

Как указывалось в п. 14.6.3, условное среднее (21.64) является байесовской оценкой для любых четных функций потерь и для унимодальных, симметричных относительно моды апостериорных плотностей вероятности

Если помеха — аддитивная, центрированная, гауссовская с известной корреляционной функцией , то функционал отношения правдоподобия

(21.66)

где определяются по формулам (21.37 а, б).

21.2.2. Нормальное распределение амплитуды сигнала.

Предположим, что амплитуда а квазидетерминированного сигнала является гауссовской случайной величиной с известными средним значением и дисперсией Тогда Плотность вероятности амплитуды

(21.67)

Определим апостериорную плотность вероятности амплитуды, используя реализацию аддитивной смеси сигнала и гауссовской помехи. Из (21.65) — (21.67) следует

Вычисляя интеграл, заключенный в фигурных скобках, получаем после несложных преобразований

Из (21.68) следует, что в рассматриваемом случае апостериорная плотность вероятности описывается функцией нормальной плотности вероятности с параметрами: условное среднее значение

и условая дисперсия

Ясно, что функция плотности (21.68) унимодальна и симметрична относительна условного среднего Поэтому в рассматриваемом случае для любой» четной функции потерь искомая байесовская оценка амплитуды а квазидетерминированного сигнала [см. (21.69) и (21.36)]

где — оценка максимального правдоподобия,

(21.72)

— отношение дисперсии априорного распределения амплитуды к дисперсии ее оценки максимального правдоподобия [см. (21.396)].

Из (21.71) следует, что байесовская оценка представляет среднее взвешенное двух величин: оценки максимального правдоподобия и априорного среднего причем отношение веса, приписываемого первой величине, к весу второй равно Ясно, что в рассматриваемом случае байесовская оценка распределенной по нормальному закону амплитуды сигнала совпадает с оценкой максимальной апостериорной плотности

Если отношение неограниченно возрастает, т. е. дисперсия оценки максимального правдоподобия много меньше дисперсии априорного распределения, то

(21.73 а)

т. е. байесовская оценка приближается к оценке максимального правдоподобия. Если дисперсия априорного распределения много меньше дисперсии оценки максимального правдоподобия, то

(21.73 б)

т. е. наблюдаемая реализация не влияет на оценку, которая принимается равной априорному среднему оцениваемого параметра.

Для белого гауссовского шума из (21.41 а) и (21.71) следует

(21.74)

В этом случае

(21.75)

т. е. равна отношению дисперсии априорного распределения к квадрату амплитуды сигнала, умноженному на отношение энергии сигнала к спектральной плотности белого шума.

Рассмотрим некоторые свойства байесовской оценки амплитуды квазидетерминированного слагаемого. Так как эта оценка получается линейной обработкой наблюдаемой реализации то распределение ее нормальное (как и оценки максимального правдоподобия).

Найдем среднее и дисперсию байесовской оценки , причем сначала получим условные средние и дисперсию при фиксированном а, а затем безусловные, усредняя по . Из (21.71) следует

и так как то усредняя по а, получаем

(21.76 а)

При дисперсия байесовской оценки также стремится к нулю, а при асимптотическое значение этой дисперсии равно

21.2.3. Асимптотические свойства байесовской оценки амплитуды сигнала с произвольным распределением.

Запишем выражение байесовской оценки амплитуды квазидетерминированного сигнала с произвольной плотностью при наблюдении реализации аддитивной смеси сигнала с гауссовской помехой. Из (21.64)-(21.66) находим

где

— решение интегрального уравнения

Дополняя экспоненты в подынтегральных выражениях до полных квадратов, после элементарных алгебр а ических преобразований находим из (21.77)

(21.78)

При значение неограниченно возрастает. Тогда

и из (21.78), предполагая непрерывность до и используя фильтрующее свойство дельта-функции, получаем асимптотическую формулу для байесовской? оценки амплитуды при

(21.79)

Независимо от вида априорного распределения байесовская оценка амплитуды а сходится при к оценке максимального правдоподобия.

Для белого гауссовского шума

т. е. указанная асимптотика имеет место при неограниченном увеличении отношения энергии сигнала на интервале наблюдения к спектральной плотности шума.

Асимптотические свойства байесовских оценок векторного случайного параметра квазидетерминированного сигнала для широких классов распределений помех и параметра, а также функции потерь исследованы в [61].