Научная библиотека

Глава 5. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

5.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСНОВНЫХ МОДЕЛЕЙ

5.1.1. Предварительное замечание.

Классификация случайных процессов по различным признакам рассматривалась в гл. 4. Наиболее общим является разделение случайных процессов на два класса: с непрерывным временем и с дискретным. Из этих классов случайных процессов, в общем нестационарных, можно выделить подклассы процессов, стационарных в широком смысле, стационарных в узком смысле, эргодических, с сильным перемешиванием (см. § 4.2). Другими признаками классификации были энергетические характеристики случайных процессов и связанного с ними свойства непрерывности и дифференцируемости (в среднеквадратическом, см. § 4.4, 4.5).

Каждый из указанных классов и подклассов представляет множество случайных процессов, управляемых различными распределениями вероятностей. Например, два стационарных в широком смысле случайных процесса, подчиняющихся двум совершенно различным двумерным функциям распределения и отображающих различные по физической природе явления, могут иметь совпадающие корреляционные функции или спектральные плотности мощности.

Полное вероятностное описание случайного процесса, которое назовем моделью случайного процесса, определяется последовательностью конечномерных функций распределения.

В этой главе рассматриваем несколько основных моделей случайных процессов, используемых при решении практических задач. Как отмечалось (см. п. 4.1.3), последовательность функций распределения по мере возрастания числа все более полно характеризует случайный процесс, причем функция содержит информацию о всех функциях распределения порядка но, вообще говоря, не наоборот. Однако вопреки этому общему положению существуют некоторые специальные виды случайных процессов, для которых одномерная и/или двумерная функции распределения позволяют определить последовательность функций сколь угодно большого порядка.

Этим замечательным свойством обладают случайные процессы, модели которых более подробно исследуются далее.

5.1.2. Детерминированный процесс.

Если множество реализаций процесса состоит из одной реализации, появляющейся с вероятностью единица, то такой процесс называют детерминированным. Полное и единственное описание детерминированного процесса представляется заданной функцией времени t.

Этот процесс можно рассматривать как вырожденный случайный процесс, функция распределения которого — единичный скачок при т. е.

[см. (2.7)]. Ясно, что среднее значение детерминированного процесса равно , а дисперсия равна нулю.

Заметим, что сумма стационарного случайного процесса и детерминированного процесса является процессом нестационарным, так как Однако эта нестациоиарность проявляется только в изменяющемся во времени среднем значении процесса и может быть при необходимости исключена на некоторых этапах решения задачи путем центрирования.

5.1.3. Квазидетерминированные случайные процессы.

Квазидетерминированный процесс представляется совокупностью функций времени заданного вида зависящих от случайного параметра Ф (вообще говоря, векторного), принимающего значения из подмножества 0 евклидового пространства параметров. Каждому возможному значению случайной величины соответствует одна реализация квазидстерминированного пропроцесса.

Простейшим примером квазидетерминированного процесса является гармонический сигнал со случайными амплитудами, частотой и фазой (см. п. 4.2.3 и 4.2.7). При равномерно распределенной фазе и постоянной частоте этот сигнал стационарен в узком смысле, а при тех же условиях и при постоянной амплитуде — эргодичеокий (см. также задачу 5.1). Другим примером квазидетерминированного процесса служит случайный процесс (4.120), который при определенных условиях, сформулированных в п. 4.4.3, стационарен в широком смысле и характеризуется дискретным спектром средней мощности.

Нестационарным квазидетерминированным процессом является процесс, описываемый полиномом по переменной t со случайными коэффициентами

который используется в качестве математической модели траектории полетов летательных аппаратов.

Квазидетерминированными являются также импульсные случайные процессы — последовательность импульсов заданной формы, параметры которых амплитуда, длительность, момент возникновения являются случайными величинами (см. § 5.5).

Докажем, что конечномерное распределение любого порядка квазидетерминированного процесса полностью определяется его одномерным распределением. Пусть стало известно значение процесса в момент времени , где — скалярный случайный параметр.

Обозначая через функцию, обратную относительно параметра , получаем . Тогда в любой момент значение процесса

По правилу умножения находим выражение многомерной плотности вероятности квазидетерминированного процесса

где - одномерная плотность вероятности квазидетерминированного процесса, которая, как нетрудно убедиться, связана с плотностью вероятности случайного параметра соотношением

Приведенное доказательство можно распространить и на квазидетерминированный процесс, зависящий от векторного параметра.

5.1.4. Случайные процессы с независимыми значениями.

Еще одним классом случайных процессов, для которого вся вероятностная информация содержится в одномерном распределении, являются процессы с независимыми значениями в несовпадающие моменты времени. Для любой последовательности случайные величины независимы в совокупности. Поэтому многомерная функция распределения случайного процесса с независимыми значениями факторизуется, т. е. равна произведению одномерных функций распределения в заданные моменты времени

Из (5.3) следуют также аналогичные соотношения для многомерных плотностей вероятности и характеристических функций случайных процессов с независимыми значениями

Следует отличать процессы с независимыми значениями от процессов с некоррелированными значениями, у которых для любой пары несовпадающих моментов времени

Если одномерная функция распределения не зависит от времени, то процесс с независимыми значениями представляет случайную последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Эта последовательность эргодична (и, следовательно, стационарна в узком смысле).

5.1.5. Случайные процессы с независимыми приращениями.

Процесс называют случайными с независимыми приращениями, если для любой последовательности моментов времени случайные величины независимы. Любое конечномерное распределение процесса с независимыми приращениями определяется его одномерным распределением и распределением приращения, т. е. двумерным распределением. Более подробная характеристика указанного класса случайных процессов дана в § 5.3.

Следует отличать процессы с независимыми приращениями от процессов с некоррелированными приращениями, для которых приращения процесса на непересекающихся интервалах некоррелированы.

5.1.6. Марковские случайные процессы.

Еще одной моделью случайного процесса, полное вероятностное описание которого дается распределением второго порядка, является марковский случайный процесс. Эта модель широко используется в приложениях теории случайных процессов.

Марковский процесс — процесс без последействия, что аналитически выражается следующим соотношением между условными функциями распределения случайного процесса:

Вводя обозначения условных функций распределения, перепишем (5.6) в виде

Соотношение (5.6) означает, что будущее состояние и прошлые состояния марковского процесса при фиксированном настоящем состоянии независимы. Иными словами, будущие состояния связаны с прошлым только через фиксированное в данный момент времени состояние, в котором оказывается «закодировано» все прошлое марковского процесса. Более подробная характеристика марковских процессов дана в § 5.4.

Следует отличать марковский процесс от мартингала, для которого при