19.2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РАНГОВЫХ СТАТИСТИК

19.2.1. Асимптотика выборочного значения и его ранга.

Как известно, случайная величина распределена равномерно на интервале (0, 1), если — функция распределения случайной величины Рассмотрим однородную независимую выборку и соответствующий ей ранговый вектор Случайная величина

(19.35)

распределена равномерно на интервале (0, 1).

Так как то условная плотность вероятности определяется по формуле Тогда, учитывая (19.35), находим плотность вероятности порядковой статистики при равномерном распределении выборочных значений:

(19.36)

Так как для любых целых положительных чисел тип

(19.37)

то из (19.36) находим

(19.386)

При из (19.386) следует

Согласно неравенству Чебышева [см. (2.29)] при

т. е. (вероятность того, что случайная величина ) существенно отличается от величины мала при Иными словами, имеет место асимптотическая эквивалентность выборки и преобразованного по закону ранга этой выборки, где — функция, обратная функции распределения выборки.

Аналогичные соображения можно высказать и относительно связи с положительным рангом. Если плотность вероятности выборки симметрична относительно нуля, то распределения случайных величин связаны соотношением

(19.39)

Тогда из (19.38 а, б) и (19.39) получим

(19.40 а)

Следовательно, имеет место асимптотическая эквивалентность случайных величин , а также асимптотическая эквивалентность

19.2.2. Асимптотическая эквивалентность ранговых и неранговых статистик.

В п. 13.8.4 отмечалось, что синтез оптимальных ранговых алгоритмов проверки гипотез при конечном размере выборки практически нереализуем. Поэтому особое значение приобретает асимптотический подход. Как уже указывалось в п. 17.1.6, асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения сигнала на фоне помех не определяется однозначно. Может существовать широкий класс алгоритмов, в котором любой алгоритм при больших размерах выборок будет оптимальным при обнаружении слабого сигнала. При определенных условиях в этом классе содержатся также и непараметрические ранговые алгоритмы обнаружения сигналов на фоне помех, эквивалентные по характеристикам обнаружения неранговым асимптотически оптимальным алгоритмам.

На первый взгляд приведенное утверждение кажется недостаточно обоснованным, поскольку при ранжировании выборки часть полезной информации теряется. Однако, как было показано в п. 19.2.1, при достаточно большом размере однородной независимой выборки функция выборочного значения, где — функция распределения незначительно отклоняется по вероятности от величины , где — ранг элемента в выборке . Поэтому заменой значения величиной в неранговом асимптотически оптимальном алгоритме можно получить асимптотически оптимальный ранговый алгоритм обнаружения сигнала.

19.2.3. Выборка из равномерного распределения.

Сформулируем сначала условия, при которых имеет место асимптотическая эквивалентность ранговых и неранговых статистик, в предположении, что исходная выборка принадлежит равномерному распределению на интервале

Пусть функция удовлетворяет условиям

(19.41)

Определим ступенчатую функцию

(19.42)

и потребуем, чтобы

(19.43)

Если — независимая выборка из равномерного распределения на интервале (0, 1) и — ранг , то условие (19.43) означает сходимость в среднеквадратическом последовательности случайных величин к случайной величине Рассмотрим теперь две статистики

(19.44)

Предположим, что последовательность чисел удовлетворяет условиям

(19.46 а)

Тогда можно доказать (см. [42], п. 6.2.4), что

(19.47)

где сходится по вероятности к нулю при Учитывая, кроме того, условие (19.43), можно в (19.47) функцию в (19.45) заменить функцией .

19.2.4. Произвольное распределение независимой выборки.

Определим введенную п. 19.2.3 функцию следующим образом:

(19.48)

где определяется согласно (17.19) и — функция, обратная функции распределения помехи.

Функция (19.48) удовлетворяет условиям (19.41), так как при подстановке (19.48) в и замене переменной получаем [см. (17.20), (17.22)]

(19.49 а)

При выборе функции согласно (19.48) статистика (19.44) преобразуется к виду

(19.50)

и, следовательно, совпадает с достаточной статистикой, используемой в асимптотически оптимальном алгоритме обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой помехи с произвольным распределением [см. (18.2)]. Из (19.47) следует асимптотическая эквивалентность (при ) неранговой статистики [см. (19.50)] и ранговой статистики

(19.51)

Аналогично для помехи с симметричной плотностью распределения устанавливается асимптотическая эквивалентность неранговой статистики (19.50) и знаково-ранговой статистики

(19.52)

При этом снимается ограничение (19.46 а) об отсутствии у сигнала постоянной составляющей.

До сих пор асимптотическая эквивалентность неранговых и ранговых статистик устанавливалась при условии, что выборка однородная и независимая, что соответствует предположению о стационарности независимой помехи (гипотеза Н). Используя понятие контигуальности (см. § 17.3), можно доказать (см. [42], гл. 6), что указанная эквивалентность сохраняется и при наличии сигнала (альтернатива ), выборка неоднородная, так как при этом плотность вероятности выборочного значения зависит от причем