16.3. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ ПО НЕЗАВИСИМЫМ ГРУППАМ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ВЫБОРОК

16.3.1. Постановка задачи и априорные данные.

Пусть на интервале ) наблюдается реализация случайного процесса который может представлять помеху (гипотеза или аддитивную смесь помехи и детерминированного сигнала ), (альтернатива К). Предположим, что помеха - стационарный в узком смысле центрированный случайный процесс, удовлетворяющий условию равномерно сильного перемешивания [см. (4.44 а)]. Тогда можно указать такой интервал времени Г, что при коэффициент перемешивания , где — малая положительная константа. Поэтому для принятой вероятностной модели наблюдаемого процесса существует такая частота дискретизации реализации этого процедса, на которой при всех выборки ) при можно считать практически независимыми. В частном случае Т-зависимой помехи (см. п. 4.2.7) указанные выборки будут строго независимы. Для указанной модели аддитивных помехи можно, как будет показано далее, использовать модификацию знаковых и ранговых алгоритмов обнаружения детерминированного сигнала, которая позволяет синтезировать непараметрические алгоритмы обнаружения по независимым группам коррелированных выборок.

Рассмотрим два этапа преобразования наблюдаемого процесса. На первом осуществляется временная дискретизация реализации в моменты времени (рис. 16.7)

где

(16.82 а)

причем — целые числа. В результате указанной дискретизации получаем М групп выборок, каждая из которых содержит выборочных значений на интервале длительностью :

где индекс - номер группы, а индекс — номер выборочного значения в данной группе.

Рис. 16.7. Независимые группы коррелированных выборок

Векторные выборки представляют совокупность независимых (практически) -мерных случайных величин, а компоненты каждого вектора коррелированы. Независимость случайных векторов следует из того, что интервал между моментом выбора последнего элемента выборки и первым элементом выборки

Второй этап преобразования состоит в редукции данных, при которой устанавливается соответствие между случайным вектором и скалярной случайной величиной , и, следовательно, между совокупностью векторных выборок и -мерным случайным вектором с независимыми компонентами, которые при гипотезе Я подчиняются одному и тому же распределению стационарной помехи. Поэтому векторная статистика Y может быть использована для синтеза непараметрических (знаковых, ранговых) алгоритмов обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной стационарной коррелированной помехи.

16.3.2. Использование линейных статистик.

Пусть — заданные константы. Образуем скалярные случайные величины

(16.83)

Каждая из случайных величин У представляет линейную комбинацию выборок группы, причем весовые коэффициенты зависят от номера выборочного элемента группы, а не от номера группы.

При гипотезе (сигнала нет) случайные величины независимы, распределены одинаково с плотностью вероятности определяемой распределением помехи, причем среднее значение каждой из этих величин равно нулю, а дисперсия

(16.84)

где - дисперсия и нормированная корреляционная функция помехи.

Вводя корреляционную матрицу размером помехи ), можно (16.84) переписать в виде

(16.84 а)

где с — вектор весовых коэффициентов.

При альтернативе К (сигнал присутствует) плотность вероятности случайной величины равна , где

(16.85)

16.3.3. Знаковые и ранговые алгоритмы обнаружения детерминированных сигналов на фоне аддитивных коррелированных помех.

Из (16.83) и (16.85) следует, что для обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной коррелированной помехи, удовлетворяющей условию равномерно сильного перемешивания, с симметричной плотностью распределения можно использовать знаковый алгоритм (16.3) или более эффективный знаково-ранговый алгоритм (16.19), если в указанных алгоритмах независимые выборки заменить вектором статистик , а вектор сигнальных значений -вектором При аналогичной замене можно использовать ранговые алгоритмы (16.32), при этом отпадает условие симметрии плотности вероятности помехи.

Заметим, что за общее время наблюдения при указанном в начале п. 16.3.1 соотношении между периодом дискретизации Т и коэффициентом перемешивания можно получить N независимых выборок. В рассматриваемых алгоритмах используется коррелированных выборок (т. е. в ) раз больше, чем при независимых выборках) и независимых групп коррелированных выборок. Отсюда следует, что на формирование одной независимой выборки затрачивается время Т, а на формирование независимых групп коррелированных выборок — время [см. (16.82 а)], т. е. в раз больше, чем для независимых выборок. Это следует учитывать при сравнении непараметрических алгоритмов обнаружения сигналов на фоне независимых и коррелированных помех.

Эффективность непараметрического алгоритма обнаружения сигнала на фоне аддитивной коррелированной помехи относительно аналогичного алгоритма использующего независимые выборки помехи, характеризуется так называемым асимптотическим относительным временем обработки (АОВО), определяемым из соотношения

(16.86)

где — КАОЭ алгоритма по отношению к алгоритму .

16.3.4. Знаковый алгоритм обнаружения постоянного сигнала на фоне коррелированной помехи.

Для обнаружения постоянного сигнала на фоне аддитивной коррелированной помехи, удовлетворяющей указанным в п. 16.3.3 условиям, в [51] предложен и исследован следующий знаковый алгоритм: принимается решение, что сигнал присутствует, если

где определяются согласно (16.83), если все константы положить равными единице. Для сравнения алгоритма (16.87) со знаковым алгоритмом обнаружения постоянного сигнала при независимых выборках используется величина [см. (16.86)]. Показано, что

где - плотность вероятности случайных величин , a - симметричная плотность вероятности помехи. Если , то

Таово

где -нормированная корреляционная функция помехи. Во многих случаях .

Заметим, что даже при обнаружении постоянного сигнала для повышения эффективности алгоритма обнаружения целесообразно использовать статистики Y с переменными весовыми коэффициентами, согласованными с корреляционной функцией помехи.