13.4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ В УСЛОВИЯХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

13.4.1. Проверка простой гипотезы против сложной альтернативы.

По принятой в § 12.6 терминологии априорная неопределенность относится только к неполному знанию функций правдоподобия выборки. Предположим, что функции правдоподобия представляют однопараметрическое семейство функций при гипотезе при альтернативе К.

Если интервалы вырождаются в точку, т. е. , то приходим к рассмотренному случаю проверки простой гипотезы Я о: против простой альтернативы (случай полной априорной информации). В этом случае алгоритм, предписывающий сравнение с порогом достаточной статистики отношения правдоподобия является оптимальным по критерию Неймана — Пирсона: при заданной вероятности а ошибки первого рода (уровня значимости) минимизируется вероятность ошибки второго рода (достигается в терминах статистики максимальная мощность).

Когда гипотеза простая альтернатива К сложна я , то и можно попытаться найти такое правило выбора решения (т. е. разбиение пространства выборок на две области ), которое при заданной верхней границе вероятности а ошибок первого рода минимизирует вероятность ошибки второго рода [или максимизирует мощность для всех простых гипотез, содержащихся в сложной альтернативе К? Такое правило называют равномерно наиболее мощным (РНМ). Если существует равномерно наиболее мощное правило выбора решения при проверке простой гипотезы против сложной альтернативы, то оно, по существу, не отличается от такого же правила, соответствующего простой альтернативе, так как при этом неоднозначность, возникающая из-за того, что представляет множество значений параметра , не имеет значения, так как критическая область одна и та же для всех значений

Существование равномерно наиболее мощного правила выбора решения при проверке простой гипотезы против сложной альтернативы является скорее исключением, нежели правилом. Можно попытаться сузить класс правил и искать в этом меньшем классе правил равномерно наиболее мощное. К одному из таких суженных классов принадлежат так называемые несмещенные правила. Эти правила должны удовлетворять следующему условию: вероятность отвергнуть ложную гипотезу не меньше вероятности отвергнуть правильную. Иначе говоря, вероятность а ошибки первого рода является нижней границей значений функций мощности для всех значений т. е.

(13.58)

Если - непрерывная функция, то минимальное значение достигается при и в точности равно а, так как

(13.58 а)

Равномерно наиболее мощное правило всегда является несмещенным. Если же такого правила нет, то все же может существовать несмещенное равномерно наиболее мощное правило.

Заметим, что оптимальное по критерию Неймана — Пирсона правило выбора решения при проверке простой гипотезы против сложной альтернативы не имеет, вообще говоря, структуры байесовского правила, как это имело место при простой альтернативе.

13.4.2. Проверка сложной гипотезы против сложной альтернативы.

Когда и гипотеза Н сложная, то вероятность ошибки первого рода зависит от параметра , принадлежащего некоторому множеству (области неопределенности). Можно попытаться найти так называемый класс подобных правил выбора решения удовлетворяющий условию

(13.59)

Если критическая область удовлетворяет условию (13.59), та ее называют подобной пространству выборок, так как интеграл по всему выборочному пространству

т. е. также не зависит от неизвестного параметра Ф. Теперь задача состоит в том, чтобы в классе подобных правил найти такое, которое является равномерно наиболее мощным для всех значений . Конечно, как и в рассмотренной в п. 13.4.1 более простой ситуации, решение указанной задачи может и не существовать. Тогда следует попытаться найти его в более узком классе правил, вводя дополнительные предположения. Одним из таких предположений является несмещенность, которая ограничивает класс функций мощностей, равных для любого вероятности попадания выборки в критическую область

(13.60)

Ясно, что при таком определении функции мощности она равна вероятности правильного принятия альтернативы К, когда и вероятности ошибки первого рода, когда . Условие несмещенности правила выбора решения при проверке сложной гипотезы Н против сложной альтернативы К формулируется следующим образом: при заданном значении а

(13.616)

Отметим, что иногда при синтезе правила выбора решения в рассматриваемом случае класс правил ограничивают дополнительным условием инвариантности правила относительно некоторой группы преобразования координат выборочного пространства.

13.4.3. Алгоритм максимального правдоподобия.

При проверке сложной гипотезы о том, что параметр Февн, против сложной альтернативы о том, что Февк, можно использовать алгоритм максимального правдоподобия. В этом случае принимается решение (отвергается гипотеза Я), если для наблюдаемой выборки выполняется неравенство

(13.62)

и решение (принимается гипотеза Н) в противном случае. Заметим, что структура правила максимального правдоподобия не совпадает с байесовской при некоторых частных значениях порога, как это было при проверке простой гипотезы против простой альтернативы.

13.4.4. Проверка гипотез о векторном параметре функции правдоподобия.

Понятие равномерно наиболее мощного правила и несмещенного РНМ правила непосредственно обобщаются на случай неизвестного векторного параметра функций правдоподобия. Однако отыскание таких правил представляет, в общем, достаточно трудную задачу (см. [35]). Достаточно просто в этом случае обобщается принцип максимального правдоподобия. Алгоритм максимального правдоподобия при проверке гипотезы против альтернативы совпадает с (13.62), если скалярные величины заменить векторными.

Иногда по условию задачи неизвестные компоненты векторного параметра функции правдоподобия классифицируют как информационные и мешающие параметры. Предположим, что при гипотезе Н информационный параметр задан а мешающий , и при альтернативе К информационный параметр также задан мешающий Февк. Если мешающие параметры случайны и известны их совместные плотности вероятности то их можно исключить усреднением функций правдоподобия

(13.63 а)

Тогда задача сводится к проверке простой гипотезы против простой альтернативы об информационном параметре. Оптимальное по любому критерию правило выбора решения предписывает сравнение с порогом достаточной статистики отношения усредненных функций правдоподобия

(13.64)

Если гипотеза и/или альтернатива об информационном параметре сложная, то после усреднения функций правдоподобия по мешающим параметрам приходим к задачам, рассмотренным в и 13.4.2.