7.5. ЗАДАЧИ

7.1. Доказать, что спектральная плотность мощности и корреляционная функция процесса на выходе дифференцирующей -цепи, когда на входе действует белый шум со спектральной плотностью равны

7.2. Показать, что при произвольной добротности Q выражения нормированной корреляционной функции процесса на выходе последовательного одиночного контура, когда на его входе действует белый шум, имеют вид:

при (колебательный режим)

(2)

при (граница колебательного и апериодического режимов)

при (апериодический режим)

где

Убедиться, что формулы (2) — (4) сохраняют вид также и для контура, образованного параллельным соединением конденсатора, катушки индуктивности и резистора.

7.3. Используя выражение для квадрата частотной характеристики двух связанных одинаковых узкополосных контуров

где

X — отношение коэффициента связи между контурами к затуханию, найти нормированную корреляционную функцию процесса на выходе связанных контуров, когда на входе действует белый шум

7.4. Нормированную корреляционную функцию белого шума, прошедшего линейную систему с сосредоточенными параметрами, передаточная функция которой — дробно-рациональная функция

где и -многочлены степени тип соответственно представить в

если все корни многочлена простые,

если многочлен имеет k различных корней, причем корень имеет кратность

7.5. На вход колебательного контура большой добротности с импульсной характеристикой

( определены в п. 7.2.3) действует аддитивная смесь детерминированного сигнала и белого шума с интенсивностью

Доказать, что отношение квадрата амплитуды сигнала к мощности шума на выходе контура через интервал времени Т после включения (при условии )

7.6. Пусть на входе интегрирующей RС-цепи действует стационарный случайный процесс с корреляционной функцией Вывести следующее выражение нормированной корреляционной функции процесса на выходе интегрирующей цепочки:

Показать, что дисперсия процесса на выходе

7.7. Используя выражение четырехмерной характеристической функции гауссовского центрированного стационарного процесса, показать, что четвертый смешанный момент процесса

где - корреляционная функция процесса.

Убедиться, что из (14) следует очевидная формула для четвертого момента гауссовского процесса на выходе линейной системы с частотной характеристикой

где - спектральная плотность мощности гауссовского процесса на входе линейной системы.