Глава 4. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

4.1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

4.1.1. Определения.

Функция действительного переменного t называется случайной, если при каждом значении аргумента t она представляет случайную величину.

Иначе говоря, случайная функция — семейство случайных величин зависящих от действительного параметра t. Если параметром t является текущее время, то случайная функция называется случайным процессом. В отличие от детерминированного процесса, развитие во времени которого априори определено однозначно, случайный процесс представляет такие изменения во времени физического явления или состояния технического объекта, которые заранее точно предсказать невозможно.

Если случайная величина определялась множеством ее возможных значений и распределением вероятностей на этом множестве, то случайный процесс характеризуется множеством функций времени

и вероятностной мерой, заданной на множестве функций (4.1). Каждая отдельная функция времени называется реализацией (траекторией, выборочной функцией) случайного процесса Индикатор реализации может принадлежать счетному множеству действительных чисел или интервалу действительной оси (континууму). Детерминированный процесс имеет единственную реализацию, описываемую заданной функцией времени

Множество Т значений параметра называют областью определения случайного процесса а множество которому принадлежат возможные значения — пространством значений процесса.

Более общим, чем понятие случайного процесса, является понятие случайного поля — случайной функции нескольких переменных . Например, случайное поле может представлять изменения состояния технического объекта в зависимости не только от времени, но и от его положения в пространстве (от координат х, у, z). В этой книге мы ограничиваемся изложением только теории случайных процессов и ее практических приложений.

4.1.2. Общая классификация случайных процессов.

Различают два класса случайных процессов: с дискретным временем (случайные последовательности), когда область определения Т случайного процесса представляет конечное или счетное множество (моментов времени, и с непрерывным временем, когда область определения — континуум.

Случайная последовательность называется дискретной, если множество X (пространство значений процесса) конечное или счетное, и непрерывной, если множество X — континуум. Случайный процесс с непрерывным временем называется дискретным, если множество X (пространство процесса) конечное или счетное, и непрерывным, если множество X — континуум (рис. 4.1 и 4.2).

Часто используется временная дискретизация случайного процесса с непрерывным временем, и тогда такой процесс аппроксимируется случайной последовательностью.

Рис. 4.1. Реализация непрерывного случайного процесса

Рис. 4.2. Реализация дискретного случайного процесса

Пусть задано произвольное число моментов времени . Совокупность значений случайного процесса в указанные моменты времени образует систему случайных величин (векторную случайную величину)

со значениями в -мерном эвклидовом пространстве . Тогда вероятностными характеристиками случайных последовательностей и случайных процессов с непрерывным временем (при временной дискретизации) являются функции совместного распределения указанных случайных величин.

Далее рассматриваются вероятностные характеристики случайных (Процессов с непрерывным временем. Определение соответствующих характеристик случайных последовательностей не вызывает особых затруднений, как будет показано, например, в гл. 7.

4.1.3. Функции распределения случайного процесса.

Фиксируя последовательно моментов времени, находим последовательность функций распределения случайного процесса одномерную функцию распределения

двумерную

и так далее до произвольной конечномерной функции распределения

или сокращенно

(принято, что размерность вектора порогов определяет размерность функции, а вектор t является вектором параметров).

Последовательность функций распределения ,

представляет своеобразную лестницу, поднимаясь по которой удается все подробнее характеризовать случайный процесс. Рассматриваемая последовательность функций распределения как функций порогов должна обладать всеми свойствами функций распределения вероятностей, изложенными в гл. 2. В частности, из функций распределения порядка можно получить все функции распределения более низких порядков, вплоть до первого. Однако в отличие от функций распределения случайных величин, функции распределения случайных процессов зависят не только от порогов но и от моментов

Функции распределения случайного процесса должны удовлетворять условию симметрии

где — целые числа от 1 до расположенные в произвольном порядке, и условию согласованности

Если семейство конечномерных распределений удовлетворяет условиям симметрии (4.5 а) и согласованности (4.56), то эти условия необходимы и достаточны для существования случайного процесса, имеющего те же самые конечномерные распределения (теорема Колмогорова [10]).

4.1.4. Плотности вероятности и характеристические функции случайного процесса.

Вероятностными характеристиками случайного процесса являются также плотности вероятности: одномерная

двумерная

и так далее до произвольной конечномерной

или сокращенно

Последовательность плотностей вероятности случайного процесса как функции порогов обладает всеми свойствами плотностей вероятности, изложенными в гл. 2.

Особенностью является зависимость плотности вероятности от времени. Плотности вероятности случайного процесса, как и функции распределения, должны удовлетворять условию симметрии

и условию согласованности

Совершая преобразования Фурье по переменным , получаем из (4.6) — (4.8) последовательность характеристических функций случайных процеосов: одномерную характеристическую функцию

двумерную

и так далее до произвольной конечномерной

или сокращенно

Характеристические функции случайного процесса, как и плотности вероятности, должны удовлетворять условию симметрии

(4.116)

и условию согласованности

В некоторых случаях используется кумулянтная функция случайного процесса

4.1.5. Моментные функции случайного процесса.

В отличие от конечномерных функций распределения (плотностей вероятности, характеристических функций) случайного процесса, которые определяют «тонкую структуру» процесса, моментные функции

дают более «грубое» вероятностное описание процесса и не рактеризуют его однозначно в том смысле, что у двух различных процессов могут быть одинаковые моментные функции (нескольких порядков).

Наряду с моментными функциями случайного процесса используют кумулянтные

которые представляют коэффициенты разложения кумулянтной функции (4.12) в ряд Тейлора

(4.136)

Для решения многих задач иногда достаточно знать следующие моменты функции:

среднее значение случайного процесса (моментную функцию первого порядка)

дисперсию (центральную моментную функцию второго порядка) , (4.15)

корреляционную функцию (смешанную моментную функцию второго порядка)

Нетрудно доказать, что корреляционная функция случайного процесса (центрированного) совпадает с кумулянтной функцией [см. (4.13 а) и (3.84 а)]

4.1.6. Совокупность случайных процессов.

Иногда необходимо исследовать совокупность случайных процессов Каждый из процессов можно рассматривать компоненту векторного случайного процесса со значением в -мерном эвклидовом пространстве.

Функция совместного распределения совокупности случайных процессов

где

Рассмотрим более подробно распределение вероятностей двух случайных процессов . Из (4.17) при (и очевидном изменении обозначений) получим

Смешанная производная

называется -мерной совместной плотностью вероятности случайных процессов

Два случайных процесса и независимы, если для любых

Совместные моментные функции двух случайных процессов

(4.21)

Простейшей совместной моментной функцией является взаимная корреляционная функция двух случайных процессов

(4.22)

4.1.7. Комплексный случайный процесс.

Как правило, в приложениях рассматриваются действительные случайные процессы.

Однако иногда бывает полезным рассматривать комплексный случайный процесс (см. гл. 15), который определяется двумя действительными случайными процессами представляющими его действительную и мнимую части. Распределение порядка задается -мерным совместным распределением . Среднее значение, дисперсия и корреляционная функция комплексного процесса определяются по формулам