3.5. ЗАДАЧИ

3.1. а) Показать, что плотность вероятности произведения зависимых гауссовских случайных величин с нулевыми средними дисперсиями и коэффициентом корреляции R равна

где — бесселева функция первого рода нулевого порядка от мнимого аргумента.

б) Показать, что плотность вероятности частного зависимых гауссовских случайных величин со средними дисперсиями и коэффициентом корреляции

где

— определена согласно (2.716).

В частном случае при

При из (16) следует плотность распределения Коши.

3.2. Показать, что плотность вероятности модуля вектора, координаты которого независимы и распределены нормально с параметрами имеет вид

Убедиться, что при формула (2) переходит в (3.50). Рассмотреть также частный случай при

Показать, что при и коррелированных координатах плотность распределения модуля вектора равна (распределение Хойта)

где

— коэффициент корреляции координат. Убедиться, что при распределение Хойта переходит в рэлеевское

а при — в одностороннее нормальное

3.3. Показать, что плотность вероятности и функция распределения произведения двух независимых рэлеевских случайных величин с параметрами соответственно равны

где — функция Ханкеля и — функция Бесселя второго рода нулевого порядка от мнимого аргумента.

3.4. Показать, что плотность распределения суммы двух независимых случайных величин, одна из которых распределена нормально с нулевым средним и дйсперсией а другая представляет синусоиду амплитуды а со случайной фазой, распределенной равномерно на интервале , равна

3.5. Показать, что функция распределения и плотность вероятности суммы двух независимых рэлеевских случайных величин с одинаковыми параметрами а [см. (3.51)] равны

где определены согласно (2.716) и

3.6. Показать, что характеристическая функция квадрата гауссовской случайной величины с параметрами (0, а) равна

Разлагая правую часть (8) в ряд по степеням v, показать, что начальные моменты определяются до формулам

где — произведение всех нечетных чисел натурального ряда до (включительно.

3.7. Показать, что характеристическая функция рэлеевской случайной величины равна

где — функция Крампа [см. (2.71 а)].

Последовательным дифференцированием определить начальные моменты рэлеевского распределения и сравнить с (12) в задаче 2.1.

3.8. Показать, что характеристическая функция квазидетерминированного гармонического колебания постоянной амплитуды а, постоянной частоты и случайной фазы равномерно распределенной на интервале , равна

где — бесселева функция нулевого порядка первого рода. Иопольауя (11), «получить выражения плотности вероятности и функции распределения указанного колебания

(11 б)

3.9. Доказать, что сумма квадратов независимых стандартных гауссовских случайных величин подчиняется так называемому -распределению с степенями свободы, плотность и функция распределения которого равны

где — неполная гамма-функция [см. (1.31)]. Показать, что начальные моменты спределения с степенями свободы определяются по формуле а кумулянты этого распределения

Сравнить (14) с задаче 2.1 для экспоненциального распределения, которое является -распределением с двумя степенями свободы.

Указание: формулу (12) получить двумя способами: а) используя (3.33) и метод полной математической индукции, б) используя формулы (8) задачи 3.6 и (3.88).

3.10. Используя формулу (11) задачи 3.8, показать, что плотность вероятности суммы независимых гармонических колебаний с постоянными амплитудами и случайными равномерно распределенными фазами

равна

Рассмотреть частный случай одинаковых амплитуд и доказать, что в этом случае

Определить вероятность того, что сумма по абсолютному значению не превзойдет Привести плотность распределения суммы двух независимых гармонических колебаний одинаковой амплитуды и случайной фазы к виду

где — полный эллиптический интеграл первого рода.

3.11. Пусть случайные величины и связаны функциональным преобразованием Предположим, что представляет также функцию распределения случайной величины . Показать, что при указанных условиях случайная величина распределена равномерно на интервале (0, 1).

3.12. Показать, что плотность вероятности случайной величины где — гауссовская случайная величина со средним а и дисперсией имеет вид (логарифмически нормальное распределение)

Вывести следующие выражения среднего, дисперсии и коэффициента асимметрии для логарифмически нормального ракш ределения

3.13. Пусть — совокупность независимых случайных величин с нулевыми средними, имеющие одинаковые функции распределения. Доказать неравенство Чернова [9]

где — корень уравнения

3.14. Показать, что характеристическая функция дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона [см. (1.29)], равна

Используя (19), доказать, что сумма независимых пуассоновских случайных величин также подчиняется распределению Пуассона.

3.15. Показать, что для случайной величины, распределенной по закону Коши

характеристическая функция

Используя (20 а), доказать, что среднее арифметическое произвольного конечного числа независимых случайных величин, распределенных по закону Коши, также подчиняется распределению Коши.

3.16 [1]. Доказать, что характеристическая функция суммы случайного числа v независимых случайных величин

равна

где и случайные величины v и независимы.

Используя (21) и предполагая, что случайные величины распределены одинаково, вывести следующие формулы для среднего значения и дисперсии случайной величины

где — средние и дисперсии случайных величин и

3.17. Пусть — случайный вектор, у которого а — вектор средних и К — корреляционная матрица. Образуем квадратичную форму где Q — симметричная положительно определенная матрица. Вывести следующее выражение характеристической функции величины

где I — единичная матрица [3].

3.18. Рассмотрим задачу о «блужданиях» [5]. Пусть точка может перемещаться в плоскости по отрезкам прямых. Будем трактовать эти перемещения как взаимно независимые векторы со случайными компонентами Положение точки после перемещений определяется результирующим вектором с компонентами Предположим, что модуль и фаза каждого вектора также независимы, причем фаза распределена равномерно на интервале , а плотность распределения модуля равна Показать, что плотность вероятности модуля результирующего вектора

а функция распределения