17.2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ НАБЛЮДЕНИЙ

17.2.1. Независимая выборка.

Предположим сначала, что наблюдается независимая выборка конечного размера . Обозначим через плотность вероятности помехи и через плотность вероятности смеси сигнала с помехой.

Предположим, что функция непрерывна и дифференцируема по параметру в точке при всех значениях и

(17.18)

Из (17.19) следует

(17.20)

Функцию можно представить в виде:

Величина

(17.21)

представляет информацию по Фишеру о параметре , содержащуюся в распределении с плотностью [см. (14.37)]. Введем величину

(17.22)

и предположим, что Из (17.21) и (17.22) следует

(17.22 а)

т. е. при дисперсия нелинейного преобразования выборочного значения помехи равна информации по Фишеру. Поэтому величину будем называть информацией Фишера о помехе (или кратко — информацией по Фишеру).

Основным условием, которому должна удовлетворять плотность вероятности смеси сигнала с помехой, является возможность ее представления в виде

(17.23)

причем для любого всегда найдется такое значение де, что для всех значений

(17.23 а)

17.2.2. Независимая последовательность векторных выборок.

Рассмотрим случай, когда каждое из независимых наблюдений представляется коррелированной выборкой размером . Обозначим через многомерную плотность вероятности векторной выборки смеси сигнала с помехой, где — векторный (-мерный) параметр. Предположим, что функция непрерывна и дифференцируема по параметру в точке при всех и что

(17.24)

Введем вектор , где

Из (17.25) следует

(17.26)

По аналогии с (17.22) назовем элементами информационной матрицы Фишера помехи следующие величины:

(17.27)

Предполагается, что матрица положительно определенная, т. е.

Основным условием, которому должна удовлетворять многомерная плотность вероятности смеси сигнала с помехой, является возможность ее представления в виде

(17.28)

причем для любого всегда найдется такое что для всехх

(17.28 а)

17.2.3. Многосвязная марковская последовательность.

Пусть представляет -связную марковскую последовательность, стационарную при гипотезе Н (см. п. 5.4.3). Такая последовательность полностью характеризуется -мерной плотностью где — -мерные векторы, и плотностью вероятности перехода из состояния у в состояние (здесь — векторный (-мерный параметр). Нулевой вектор соответствует помехе.

Введем (-мерный вектор и предположим, что функция непрерывна и дифференцируема по параметру в точке при всех z и что

(17.29)

Введем также вектор где

(17.30)

Из (17.30) следует

(17.31)

По аналогии с (17.27) назовем величину

(17.32)

информационной матрицей Фишера помехи и предположим, что — положительно определенная.

Основным условием, которому должна удовлетворять переходная плотность вероятности многосвязной марковской последовательности, является возможность представления ее в виде

(17.33)

причем для любого всегда найдется такое что для всех

(17.33 а)

Для существования разложения (17.33) достаточно, чтобы в окрестности точки

17.2.4. Логарифмы отношения правдоподобия.

Запишем для рассмотренных вероятностных (моделей наблюдений выражения статистики логарифма отношения правдоподобия при фиксированных размерах выборок. В этих выражениях будет представлена в явном виде связь параметра со значениями обнаруживаемого сигнала.

Пусть — независимая выборка из реализации наблюдаемого процесса, причем Выборку детерминированного сигнала в момент обозначим где — амплитуда сигнала, зависящая, вообще говоря, от размера выборки . Безразмерная функция определяет форму сигнала. Параметр , от которого зависит плотность вероятности выборочного значения я смеси сигнала с помехой,

(17.34)

Логарифм отношения правдоподобия

(17.35)

Если рассматривать линейную модель сигнала

(17.36)

где — совокупность коэффициентов разложения сигнала в базисе , то

(17.37)

Пусть теперь — независимая последовательность -мерных векторных выборок, где

Обозначим через значение сигнальной функции в момент Тогда векторный параметр плотности вероятности выборочного значения смеси сигнала с помехой при фиксированном векторе моментов времени запишется в виде

(17.38)

В этом случае логарифм отношения правдоподобия

Наконец, рассмотрим выборку размером -связной марковской последовательности. Ее распределение полностью определяется априорной плотностью -мерного вектора и плотностями перехода , где -мерный параметр

(17.40)

Из факторизации плотности вероятности многосвязной марковской последовательности [см. (5.66)] следует

(17.41)

откуда логарифм отношения правдоподобия

(17.42)