2.3. СОВОКУПНОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

2.3.1. Многомерное распределение вероятностей совокупности случайных величин.

Некоторые положения теории случайной величины, изложенные ранее, можно обобщить на произвольную конечную совокупность случайных величин . Эту совокупность можно рассматривать как случайную точку в -мерном эвклидовом пространстве со случайными декартовыми координатами , или как случайный вектор

В дальнейшем для векторных величин используем обозначения тогда, когда следует указать размерность вектора.

Таким образом, множеством возможных значений совокупности случайных величин является многомерное эвклидово пространство (или область, принадлежащая этому пространству). Необходимо также определить на указанном множестве распределение вероятностей совокупности случайных величин.

По аналогии с функций распределения скалярной случайной величины введем многомерную функцию совместного распределения совокупности случайных величин (векторной случайной величины) [см. (2.35)]

(2.36 а)

или к векторной форме

Многомерная функция совместного распределения векторной случайной величины обладает свойствами, аналогичными свойствам функции распределения скалярной случайной величины. Значения многомерной функции распределения неотрицательны и не превосходят единицы. Если хотя бы один из аргументов то значение функции распределения равно нулю, а если все аргументы , то значение этой функции равно единице. Кроме того, многомерная функция распределения неубывающая в любом направлении, изменяющемся от

Однако появляется и новое свойство, присущее многомерной функции совместного распределения. Если аргументов функции (2.36 а) обращаются в бесконечность, то эта функция становится функцией совместного распределения остальных m случайных величин. Например,

или в векторной форме

(2.37б)

Обратное, вообще говоря, неверно, т. е. по распределениям частей совокупности случайных величин нельзя найти совместное распределение всей совокупности. Исключение из этого общего правила составляет совокупность совместно независимых случайных величин, для которой по определению

Пусть — два случайных вектора. Для их независимости необходимо и достаточно, чтобы функция их совместного распределения была равна произведению функций распределений каждого из них:

(2.38 а)