2.4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2.4.1. Многомерная нормальная плотность вероятности.

Важнейшим для практических приложений является нормальное распределение совокупности случайных величин, которое определяется следующим выражением многомерной плотности вероятности этой совокупности:

где — матрица, обратная матрице

Из (2.64) следует, что нормальное распределение совокупности случайных величин полностью определяется вектором средних значений и ковариационной матрицей

Совокупность случайных величин, подчиняющуюся нормальному закону распределения, называют гауссовской.

Матричному представлению (2.64) многомерной нормальной плотности вероятности соответствует следующее ее выражение через скалярные величины:

где — матрица коэффициентов корреляции размером — алгебраическое дополнение элемента в определителе D.

Таким образом» -мерная нормальная плотность вероятности зависит от параметров и от параметров

Можно доказать, что любая часть гауссовской совокупности случайных величин также является гауссовской. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно (см. пример в [1, с. 51]).

2.4.2. Гауссовская случайная величина. Из (2.65) при находим нормальную плотность вероятности одной гауссовской случайной величины

которая определяется двумя параметрами: средним значением и дисперсией .

Как видно из кривые плотности нормального распределения при различных значениях дисперсии унимодальны, т. е. имеют один максимум в точке Кривая плотности в полосе ограничивает 99,7% общей площади, т. е. с вероятностью 0,997 значения гауссовской случайной величины попадают в интервал ().

Нетрудно показать, что точки перегиба, в которых кривая плотности имеет максимальную крутизну, определяются из равенства . При кривая распределения сливается с осью абсцисс, а при она переходит в дельта-функцию:

Функция распределения гауссовской случайной величины

Интеграл

называемый интегралом Лапласа, представляет функцию распределения нормированной стандартной гауссовской случайной величины при . Имеются многочисленные таблицы интеграла Лапласа, т. е. функции стандартного нормального распределения (см., например, [2]).

Эти таблицы можно использовать для определения значений при произвольных значениях параметров а и если заметить, что из (2.67) и (2.68) следует

Таблицы интеграла Лапласа составлены для положительных аргументов, а значения определяются из очевидного соотношения

Вблизи начала координат функция имеет участок, близкий к линейному, который хорошо описывается несколькими первыми членами степенного ряда

(2.70 а)

При достаточно большом аргументе имеет место асимптотическое разложение

(2.70 б)

Заметим, что если в знакопеременном ряде ограничиться несколькими членами, то ошибка будет меньше значения первого отброшенного члена. Поэтому из (2.706) следует

На рис. 2.5 для сравнения приведены функции нормального распределения при тех же значениях , что и на рис. 2.4. Предельная кривая при имеет вид единичного скачка в точке

Часто вместо функции рассматривается и табулируется так называемый интеграл вероятности (функция ошибок, функция Крампа)

(2.71 а)

и функция

Рис. 2.4. Плотности нормального распределения при различных дисперсиях

Рис. 2.5. Функции нормального распределения при различных дисперсиях

для которой (2.70) переходит в более простое соотношение

(2.71 в)

2.4.3. Совокупность независимых гауссовских случайных величин.

Если — совокупность независимых гауссовских случайных величин с параметрами

то из (2.43) и (2.66) следует, что совместная плотность вероятности этой совокупности случайных величин

Формула (2.72) является частным случаем общей формулы (2.65) (при ), для которого при при Ковариационная матрица и обратная ей матрица в этом случае диагональные.

Сравнение формул (2.65) и (2.72) показывает, что из попарной некоррелированности гауссовских случайных величин следует их независимость. Это положение является важным исключением общего утверждения о том, что из некорреллированности случайных величин не следует их независимость, и является характерной особенностью нормального распределения вероятностей.

2.4.4. Совокупность двух зависимых гауссовских случайных величин.

Двумерная плотность двух зависимых гауссовских величин зависит от пяти параметров: . Детерминант

а алгебраические дополнения .

Из (2.65) при находим двумерную плотность вероятности двух гауссовских случайных величин (рис. 2.6)

Функция распределения двух гауссовских случайных величин

(2.73 а)

В частном случае при функция связана простым соотношением с табулированным интегралом (см. Приложение 1 в [1])

(2.736)

Условная плотность гауссовской случайной величины при условии, что зависимая от нее гауссовская случайная величина в соответствии с (2.55), (2.66) и (2.73) равна

Рис. 2.6. Двумерная плотность нормального распределения

Рис. 2.7. Условные плотности нормального распределения

Из (2.74) следует, что условная плотность описывается функцией нормальной плотности вероятности с параметрами: условное среднее значение

(2.75 а )

и условная дисперсия

(2.756)

При , что соответствует независимости случайных величин и условная плотность (2.74) переходит в плотность вероятности случайной величины . При

На рис. 2.7 согласно (2.74) построены кривые условных плотностей нормального распределения при и нескольких значениях параметра .