2.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

2.2.1. Моменты распределения.

Рассмотренные в § 2.1 функция распределения и плотность вероятности дают полную характеристику случайной величины. Однако в ряде случаев о случайной величине достаточно иметь лишь некоторое общее представление. Аналогичное положение имеет место тогда, когда вместо описания мельчайших подробностей геометрической формы твердого тела ограничиваются такими его числовыми характеристиками, как длина, ширина, высота, объем, момент инерции и т. д.

В теории вероятностей числовыми характеристиками случайной величины служат моменты распределения. Для непрерывных случайных величин моменты распределения порядка определяют по формуле

в предположении, что несобственный интеграл абсолютно сходится, т. е. что имеет конечное значение. Геометрически числа можно трактовать как моменты инерции соответствующих порядков плоской фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой плотности вероятности.

Если случайная величина дискретна и принимает значения с вероятностями , то ее момент распределения 2

в предположении, что ряд в правой части (2.21) сходится абсолютно. Формулу (2.21) можно переписать в векторной форме

(2.21 а)

где — вектор степеней значений случайной величины и вектор вероятностей соответственно.

Следует подчеркнуть, что далеко не всегда удается характеризовать случайную величину при помощи моментов, так как не для любого распределения эти моменты существуют.

Заметим, что если существует момент порядка, то, конечно, существуют все моменты порядка Если же момент порядка неограничен, то и любые моменты порядка неограничены.

2.2.2. Среднее значение.

Простейшая числовая характеристика случайной величины — момент распределения первого порядка — определяет абсциссу центра тяжести плоской фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс и называется математическим ожиданием, или средним значением случайной величины.

Из (2.20) и (2.21) при находим среднее значение непрерывной случайной величины

и среднее значение дискретной случайной величины

Среднее значение случайной величины характеризует только расположение кривой распределения относительно начала координат. Для центрированной случайной величины среднее значение равно нулю, а геометрическая форма кривой плотности та же, что и для случайной величины . Размерность среднего значения совпадает с размерностью значений случайной величины.

2.2.3. Центральные моменты.

В отличие от моментов которые называют начальными, моменты распределения центрированной случайной величины называют центральными и обозначают Для непрерывной случайной величины

а для дискретной

Если среднее значение случайной величины равно нулю, то центральные моменты распределения совпадают с начальными. Очевидно, центральный момент первого порядка всегда равен нулю.

2.2.4. Дисперсия.

Центральный момент второго порядка называется дисперсией случайной величины и определяется в соответствии с (2.24) и (2.25) по формулам:

для непрерывной случайной величины

для дискретной

Величину называют среднеквадратическим значением случайной величины . Размерность дисперсии совпадает с размерностью квадрата значений случайной величины, а размерность среднеквадратического значения — с размерностью случайной величины.

Центральный и начальный моменты второго порядка связаны соотношением, которое непосредственно следует из (2.26) или (2.27):

Обозначим и рассмотрим вероятность

Так как , то

т. е.

Соотношение (2.29) называется неравенством Чебышева. При из него следует

(2.29 а)

т. е. отклонения g от его среднего, значительно превышающие среднеквадратическое, маловероятны. Таким образом, дисперсия случайной величины характеризует разброс ее значений относительно среднего.

2.2.5. Коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Среднее и дисперсия не отражают всех особенностей кривой распределения. Одной из них являются симметрия или асимметрия кривой плотности относительно оси, проходящей через центр тяжести. При любом симметричном распределении центральный момент произвольного нечетного порядка равен нулю, что непосредственно видно из (2.24). Поэтому простейший из нечетных моментов — центральный момент третьего порядка:

в первом приближении служит характеристикой асимметрии распределения. Его можно выразить через начальные моменты первых трех порядков:

Асимметрию распределения принято характеризовать безразмерным отношением

которое называется коэффициентом асимметрии.

Рис. 2.3. Процентная точка

В качестве характеристики сглаженности кривой распределения около ее моды используют безразмерный коэффициент эксцесса

(2.32 а)

2.2.6. Квантили и процентные точки распределения.

Распределение вероятностей случайной величины часто характеризуют квантилями порядка , т. е. таким значением , которое удовлетворяет уравнению

Квантиль , которая делит площадь под кривой плотности вероятности на две равные части, называют медианой распределения.

Процентные точки распределения определяются из уравнения (рис. 2.3)

(2.34 а)

или

(2.34 б)

где — функция, обратная функции распределения. Ясно, что q — процентная точка распределения — совпадает с квантилью порядка