15.5.2. Оптимальный дискретно-аналоговый амплитудный алгоритм обнаружения.

Рассмотрим задачу синтеза оптимального правила выбора решения о наличии или отсутствии сигнала по реализации огибающей наблюдаемого процесса, представляющего либо стационарную узкополосную гауссовскую помеху (гипотеза Но), либо сумму этой помехи и детерминированного узкополосного сигнала (гипотеза ). Вероятностные характеристики этих процессов приведены в гл. 10. Используя указанную там терминологию, можно рассматриваемую задачу сформулировать так: проверяется гипотеза что наблюдаемая огибающая является рэлеевским процессом, против альтернативы Ни что она — обобщенный рэлеевский процесс.

Следуя общей методике, необходимо в качестве наблюдаемых координат огибающей принять некоррелированные величины

(15.154)

где - реализация огибающей на интервале наблюдения — собственные числа и собственные функции интегрального уравнения

- известная корреляционная функция огибающей помехи.

Для того, чтобы найти функцию распределения случайной величины согласно (15.154), необходимо решить одну из самых сложных задач теории случайных процессов (см. п. 7.3.1): определить распределение процессов на выходе линейной системы, когда распределение процесса на ее входе отлично от нормального (в рассматриваемом случае его распределение рэлеевское). Случайные величины не являются ни гауссовскими, ни рэлеевскими, и из их некоррелированности не следует независимость. Вычислить отношение правдоподобия для выборки трудно. Поэтому отойдем от приведенной точной постановки задачи и ценой некоторых допущений упростим задачу.

Допуская, что энергетический спектр помехи равномерный в полосе , представим наблюдаемые некоррелированные координаты огибающей в виде

(15.156)

где — спектральная плотность шума.

Кроме того, предполагаем, что время наблюдения

Так как при функция — то, учитывая принятое условие из (15.156) получаем

или

(15.158)

где — дисперсия помехи, - выборочное значение огибающей при

Таким образом, в качестве наблюдаемых координат приняты выборочные значения огибающей через равные интервалы времени . Причем эти значения приближенно можно считать некоррелированными.

Так как из некоррелированности значений огибающей гауссовского случайного процесса следует их статистическая независимость (см. п. 10.2.2.), то некоррелированные координаты представляют независимые случайные величины.

Ограничиваясь первыми N координатами, нетрудно записать функции правдоподобия выборки для двух указанных выше гипотез [см. (10.56) и (10.57)]

(15.160)

где

(15.161)

представляет отношение амплитуды сигнала (в момент времени ) к среднеквадратическому значению помехи.

Из (15.154) и (15.160) находим логарифм отношения правдоподобия

(15.162)

Оптимальный дискретно-аналоговый амплитудный алгоритм обнаружения детерминированного узкополосного сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи предписывает сравнение статистики (15.162) с порогом. Однако определить функцию распределения статистики (15.162), а следовательно, и вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения в замкнутом виде невозможно. Поэтому аналитическое исследование вероятностных характеристик указанной статистики продолжим для слабого сигнала, когда и сильного сигнала, когда следовать общий случай можно путем статистического моделирования алгоритма на ЭВМ.