13.8.4. Ранговые статистики.

Рангом элемента выборки называется порядковый номер этого элемента в вариационном ряду или, другими словами, число элементов выборки меньших или равных

Следовательно, выборочному значению соответствует порядковая статистика вариационного ряда.

Ранговым вектором выборки называется перестановка чисел 1, 2, которая получается при замене элементов выборки их рангами. Ранговой статистикой называется произвольная функция от рангового вектора. Ранговый алгоритм предписывает сравнение некоторой ранговой статистики с порогом.

Исходную выборку можно восстановить, если известен вектор порядковых статистик и ранговый вектор R. Отдельно любой из этих двух векторов представляет необратимое нелинейное преобразование исходной выборки. Для однородной независимой выборки случайные векторы и R независимы.

Ранг элемента выборки размером при помощи функции единичного скачка или знаковой функции можно представить следующим образом:

(13.168 а)

Из (13.168 a и б) следует, что ранги являются знаковыми статистиками от разностей выборочных значений.

Для однородной независимой выборки функция правдоподобия инвариантна к группе перестановок аргументов. Отсюда следует, что для указанной выборки все ранговые векторы равновероятны, каково бы ни было распределение, которому принадлежит выборка. Общее число возможных ранговых векторов, соответствующих выборке размером , равно числу перестановок чисел, т. е. Следовательно, выборочное пространство ранговых векторов состоит из дискретных точек -мерного эвклидового пространства. Вероятность попадания рангового вектора R наблюдаемой выборки в любую точку этого дискретного множества равна , т. е. для любого распределения однородной независимой выборки

(13.169)

Таким образом, ранговый алгоритм — непараметрический по отношению гипотезе Н о том, что выборка из произвольного распределения однородная и независимая. Для альтернативы К о том, что независимая выборка неоднородная, ранги перестают быть равновероятными. Для определения функции распределения рангового вектора при альтернативе К необходимо вычислить интеграл

где область включает те точки выборочного пространства, которым при упорядочивании соответствует заданный вектор

Этот интеграл [42]

(13.170)

Практическое использование формулы (13.170), за исключением специальных случаев, сопряжено с трудно выполнимыми вычислениями. Из-за сложности распределения (13.170) синтез оптимального по критерию Неймана — Пирсона рангового алгоритма проверки гипотез при конечном размере выборки практически нереализуем. Это также одна из причин того, что указанный синтез осуществляют на эвристической основе (см. п. 13.7.4).

Отметим, что ранговый вектор однородной независимой выборки инвариантен к безынерционному преобразованию выборки

(13.171)

так как такое преобразование не изменяет относительного расположения элементов выборки . Из (13.171) следует, что ранговый алгоритм сохраняет непараметрическое свойство и после указанного нелинейного преобразования.