15.3. ОПТИМАЛЬНЫЕ АНАЛОГОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

15.3.1. Синтез оптимального алгоритма и его рабочая характеристика.

Рассмотрим задачу обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи, постановка которой и необходимые априорные данные для ее решения приведены в п. 15.1.1.

Будем, однако, предполагать, что наблюдаемая реализация не подвергается дискретизации и необходимо синтезировать оптимальный по критерию Неймана — Пирсона аналоговый алгоритм обнаружения. Для этого используем выражение (15.56) логарифма функционала отношения правдоподобия для гауссовского случайного процесса, полагая

Так как — детерминированный сигнал, а функция определяется априорными данными [см. (15.52)], то достаточной статистикой является случайная величина [линейный функционал от реализации

(15.86)

где функция представляет решение интегрального уравнения

(15.87)

где — корреляционная функция гауссовской помехи.

Оптимальный аналоговый алгоритм обнаружения предписывает сравнение функционала (15.86) (так называемого корреляционного интеграла) с порогом

(15.88)

который определяется заданной вероятностью а ложной тревоги.

Случайная величина как линейный функционал гауссовского процесса распределена нормально с параметрами

(15.89 а)

или с учетом (15.87)

(15.89)

Обозначим

(15.90)

Тогда из уравнения

находим

(15.91)

Таким образом, в соответствии с (15.88) принимается решение о наличии сигнала, если

(15.92)

и решение о том, что сигнала нет, в противном случае.

Вероятность правильного обнаружения

(15.93)

Используя (15.93), запишем рабочую характеристику оптимального аналогового алгоритма обнаружения сигнала

(15.94)

где — процентные точки нормального распределения вероятностей; — параметр обнаружения, определяемый из (15.90).

Из (15.20), (15.37), (15.50) и (15.94) следует, что рабочие характеристики всех рассмотренных оптимальных дискретно-аналоговых алгоритмов обнаружения и оптимального аналогового алгоритма одинаковы и отличаются лишь параметрами обнаружения. Графики рабочих характеристик, изображенные на рис. 15.2 и 15.3, можно использовать и для оптимального аналогового алгоритма обнаружения, если заменить параметр параметром . Параметр зависит от вида сигнала и корреляционной функции помехи [см. (15.90) и (15.87)] и равен «расстоянию» между статистиками при гипотезе и альтернативе