21.4. НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

21.4.1. Постановка задачи.

В § 21.3 рассматривались оценки сигнала на фоне помехи, получаемые линейной фильтрацией наблюдаемой реализации, и определялись характеристики линейных фильтров, оптимальных по критерию минимума среднего квадрата ошибки. Если отказаться от условия линейности алгоритма обработки наблюдаемой реализации, то в более широком классе допускаемых оценок можно, вообще говоря, получить оценки, которые по заданному критерию минимума среднего квадрата ошибки будут лучше линейных оценок.

Из результатов, приведенных в п. 14.6.3, следует, что в общем случае оптимальной по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценкой сигнала по наблюдаемой реализации аддитивной смеси сигнала с помехой является условное среднее

(21.136)

где — апостериорная плотность сигнала после наблюдения на интервале (0, t) реализации случайного процесса

За исключением гауссовских процессов вычисление нелинейного функционала (21.136) встречает значительные трудности, связанные прежде всего с определением апостериорной плотности вероятности.

Один из подходов к решению задачи оптимальной нелинейной фильтрации состоит в ограничении класса исследуемых процессов марковскими или их компонентами. При таком ограничении удается преодолеть трудности, связанные с вычислением апостериорной плотности оцениваемого процесса. После этого можно получить оценку по критерию минимума среднего квадрата ошибки. Вопросу нелинейной фильтрации марковских случайных процессов посвящена основополагающая работа [67] (см. также [68]). Рассмотрим другой подход, основанный на аппроксимации нелинейного функционала рядом Вольтерра [см. (6.9)].

21.4.2. Представление оценки сигнала рядом Вольтерра.

При линейной фильтрации связь между оценкой сигнала и наблюдаемой реализацией описывается достаточно простым интегральным соотношением (21.80). Когда для оценки используется нелинейная инерционная система, то связь уже не столь проста. Можно, однако, и при нелинейной фильтрации установить явную связь процессов если воспользоваться представлением нелинейного функционала от реализации рядом Вольтерра [см. (6.9)]

(21.137)

Если для всех то получаем линейный функционал и можно трактовать как импульсную характеристику линейного фильтра. Добавление членов ряда (21.137) при означает введение нелинейности. Совокупность функций характеризует нелинейный фильтр порядка. Ограничение суммы (21.137) первыми членами позволяет аппроксимировать функционал процессом на выходе фильтра порядка при входном воздействии

21.4.3. Оптимальная нелинейная коррекция второго порядка.

Пусть -реализация суммы центрированных сигнала и помехи, определенная для всех действительных значений .

Примем в качестве оценки

(21.138)

где - импульсная характеристика оптимального фильтра, определенная из уравнения (21.88).

Оценка (21.138) отличается от линейной наличием нелинейного слагаемого. К оценке, оптимальной в классе линейных фильтров, добавляется корректирующее слагаемое за счет использования нелинейности. Для формирования оценки (21.138) использована простейшая нелинейная система — фильтр второго порядка. Задача состоит в том, чтобы определить характеристику нелинейности так, чтобы средний квадрат ошибки

(21.138 а)

был минимальным.

Обозначим через ошибку, которая получается, если для оценки используется оптимальный линейный фильтр, т. е.

Ошибка не коррелирована с [см. (21.88)], т. е.

Из (21.138) и (21.139) находим дисперсию ошибки

(21.141)

где с учетом стационарности сигнала и помехи

(21.142)

а совпадает с минимальной дисперсией ошибки, которая получается при использовании линейных оценок [см. (21.95 а)].

Из (21.141) следует, что при использовании в качестве устройства оценки нелинейного фильтра второго порядка средний квадрат ошибки оценки зависит уже не только от корреляционных функций процессов но и от смешанных моментов третьего и четвертого порядков.

Используем тот же прием, что и в п. 21.3.2; можно доказать, что при заданных смешанных моментах процессов до четвертого порядка включительно наилучшая (в смысле принятого критерия минимума среднего квадрата ошибки) нелинейная фильтрация второго порядка сигнала из аддитивной смеси с помехой реализуется при условии, что ядро нелинейного корректирующего члена удовлетворяет интегральному уравнению (см. [60, п. 4.3.2])

Минимальное значение дисперсии ошибки

(21.146)

или

(21.147)

где

— минимальная дисперсия ошибки линейной оценки [см. (21.95)].

Таким образом, использование оптимального нелинейного корректирующего звена в фильтре второго порядка позволяет дополнительно уменьшить дисперсию ошибки на

(21.148)

21.4.4. Оптимальный фильтр второго порядка.

Рассмотрим задачу об оптимальном фильтре второго порядка, отказавшись от предположения, что линейная часть оценки (21.138) задана. Найдем совместно две функции минимизирующие дисперсию ошибки.

Подставляя (21.138) в (21.138 а), находим выражение функционала зависящее от двух неизвестных ядер первого и второго порядка:

(21.149)

Тем же приемом, который применялся ранее, можно показать, что дисперсия ошибки минимальна при использовании такого нелинейного фильтра второго порядка, ядра которого удовлетворяют следующей системе двух интегральных уравнений:

(21.150)

Заметим, что для независимых сигналов и помехи имеющих симметричные распределения, и система уравнений (21.150), (21.151) распадается на два уравнения, первое из которых переходит в (21.94), а второе — в (21.145), так как при этом Следовательно, при указанном условии полученное решение задачи об оптимальном фильтре второго порядка справедливо и тогда, когда нет никаких априорных ограничений на линейную часть оценки.

21.4.5. Оптимальный фильтр произвольного порядка.

Оценку сигнала по наблюдаемой реализации аддитивной смеси сигнала с помехой можно Сделать более точной, используя нелинейные фильтры более высокого порядка. При фильтре порядка [см. (21.137)]

(21.152)

При этом возможны две постановки задачи. Можно попытаться отыскать такую последовательность ядер которая минимизирует средний квадрат ошибки

(21.153)

Эта задача сводится к решению системы интегральных уравнений относительно неизвестных ядер, аналогичной системе (21.150), (21.151) для

Менее общая постановка, приводящая к обозримому результату, аналогична той, которая формулировалась в начале п. 21.4.3. Предположим, что совпадает с импульсной переходной функцией оптимальной линейной системы, ядро корректирующего нелинейного элемента второго порядка находим из уравнения (21.145), а ядро корректирующего элемента третьего порядка — из условия минимума . Затем добавим нелинейность четвертого порядка и определим из условия минимума и т. д. Найдем рекуррентное уравнение для , если уже известна последовательность оптимальных ядер до порядка включительно.

Обозначим через ошибку, которая получается, если для оценки используется нелинейный фильтр порядка:

(21.154)

Тогда из (21.153) находим

(21.155)

где

(21.156 а)

а совпадает с минимальной дисперсией ошибки при использовании последовательности нелинейных корректирующих членов до порядка. Для вычисления дисперсии ошибки согласно (21.155) требуется уже априорное знание смешанных моментов наблюдаемых процессов до порядка включительно.

Следуя применявшемуся выше приему, нетрудно убедиться, что оптимальная по критерию минимума дисперсии ошибки нелинейная фильтрация порядка сигнала из его аддитивной смеси с помехой будет реализована при условии, что ядро удовлетворяет интегральному уравнению

(21.157)

При уравнение (21.157) переходит в (21.145).

При использовании нелинейного фильтра порядка минимальное значение дисперсии ошибки

(21.158)

При формула (21.158) совпадает с (21.148).

Уравнение (21.157) позволяет найти характеристику оптимальной корректирующей нелинейности порядка, если уже известны характеристики оптимальных корректирующих элементов до порядка. Рекуррентной является также формула (21.158), по которой определяется уменьшение минимальной дисперсии ошибки за счет введения нелинейности порядка.

Заметим, что, как и в теории оптимальной линейной фильтрации, изложенную методику можно использовать и для описания более широкого класса нестационарных процессов а также для определения физически реализуемых нелинейных фильтров и для оценок линейных преобразований сигнала.

21.4.6. Фильтрация гауссовского сигнала на фоне гауссовской помехи.

До сих пор не делалось никаких специальных предположений о распределении вероятностей сигнала и помехи. Допустим, что сигнал и помеха — гауссовские случайные процессы. Тогда нетрудно убедиться, что добавлением нелинейных элементов к оптимальному линейному фильтру нельзя уменьшить дисперсию ошибки.

Как уже показано, нелинейная фильтрация порядка сигнала из его аддитивной смеси с помехой будет оптимальной по критерию минимума дисперсии ошибки при условии, что характеристики нелинейного фильтра удовлетворяют системе интегральных уравнений (21.150), (21.151). Но для гауссовских процессов из (21.140) следует, что независимы. Поэтому так как Тогда из (21.145) следует, что , т. е. наилучшей в указанном смысле является линейная фильтрация.

Докажем теперь, что добавление нелинейного элемента произвольного порядка также не уменьшает дисперсию ошибки. Пусть

(21.159)

где - ошибка, которая получается при использовании оптимального линейного фильтра. Повторив рассуждения, которые привели к (21.157), убедимся, что дисперсия ошибки минимальна при условии, что ядро удовлетворяет интегральному уравнению

(21.160)

Как было указано, для гауссовских случайных процессов независимы. Поэтому и из (21.160) следует

(21.161)

Таким образом, наилучшая фильтрация гауссовского сигнала из аддитивной смеси с гауссовской помехой осуществляется оптимальным линейным фильтром, импульсная характеристика которого определяется из интегрального уравнения (21.94). Этот результат обобщается и на нестационарные процессы.

21.4.7. Интерпретация нелинейных фильтров.

Изложенный метод оптимальной нелинейной фильтрации по критерию минимума дисперсии ошибки основан на использовании аппроксимации непрерывного функционала последовательностями вида (21.152). При этом фильтр порядка характеризуется последовательностью ядер удовлетворяющих интегральным уравнениям (21.157). Решив эти уравнения, можно по заданной реализации аддитивной смеси сигнала и помехи сформировать оценку сигнала с минимальной в классе нелинейных фильтров порядка дисперсией ошибки. Практическая реализация фильтра по заданной последовательности ядер связана или с достаточно сложным вычислительным алгоритмом, или с какой-либо подходящим образом выбранной интерпретацией ядер. Одна из таких интерпретаций основана на разложении функции многих переменных в кратные ряды по ортогональным полиномам (см., например, [1], п. 9.5.2, а также [24]).