Глава 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ (ИНЕРЦИОННЫХ) СИСТЕМАХ

7.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

7.1.1. Среднее значение и корреляционная функция процесса на выходе системы.

Линейная система с дискретным временем и с импульоной характеристикой преобразует согласно (6.10) случайную последовательность воздействующую на ее вход, в другую случайную последовательность которая является сверткой импульсной характеристики со входной последов ател ьностью:

Бесконечная сумма (7.1) случайных величин предполагается сходящейся в среднеквадратическом смысле (см. п. 3.4.1).

Обозначим через среднее значение и корреляционную функцию входной последовательности

Из (7.1) непосредственно следует связь между средними значениями и между корреляционными функциями случайных последовательностей на входе и на выходе линейной системы с дискретным временем:

Дисперсия выходной последовательности

Из (7.5) следует, что для определения дисперсии выходной последовательности недостаточно знать только дисперсию входной последовательности, но необходимо задать также и входную корреляционную функцию.

Из (7.1) находим, кроме того, выражение для взаимной корреляционной функции входа и выхода линейной системы

Для линейных систем с постоянными во времени параметрами (инвариантных систем) и для входной случайной последовательности, стационарной в широком смысле, приведенные соотношения имеют следующий вид:

Заметим, что формулу (7.8) можно представить в виде

где

— свертка импульсных характеристик линейной системы.

Для того чтобы выполнить условие физической реализуемости линейной системы, необходимо в (7.3)-(7.6) положить при а в (7.7) — (7.12) положить при

7.1.2. Спектральная плотность мощности случайной последовательности.

В п. 4.3.5 была определена спектральная плотность мощности стационарного в широком смысле случайного процесса с непрерывным временем. Определим теперь эту величину для случайной последовательности

Рассмотрим усеченную реализацию стационарной в широком смысле случайной последовательности и введем -преобразование этой реализации

где — комплексная переменная.

Спектральная плотность мощности усеченной реализации

а спектральная плотность мощности случайной последовательности равна пределу при среднего значения этой величины:

Из (7.13) — (7.15) следует

и так как суммируемые величины зависят только от разности индексов суммирования, то двойная сумма приводится к простой сумме. После перехода к пределу при получаем окончательно

Как правило, спектральная плотность мощности вычисляется на единичной окружности

где — «безразмерные» частоты.

Корреляционная функция случайной последовательности определяется по заданной спектральной плотности мощности обратным преобразованием Фурье:

Формулы (7.17) и (7.18) являются аналитическим представлением теоремы Хинчина — Винера для случайных последовательностей (см. п. 4.3.6).

7.1.3. Спектральная плотность мощности на выходе линейной системы с дискретным временем.

Выполним -преобразование от обеих частей равенства (7.11). Так как свертке функций соответствует произведение их -преобразований, то, учитывая найдем из (7.11) связь между спектральными плотностями мощности случайных последовательностей на входе и на выходе инвариантной линейной системы с дискретным временем:

где — передаточная функция линейной системы (-преобразование импульсной характеристики).

С помощью (7.17) можно получить эквивалентное (7.19) выражение для спектральной плотности мощности, которое чаще используется при анализе линейных систем с дискретным временем:

где — квадрат амплитудно-частотной характеристики системы.

Основываясь на (7.20) с учетом (7.18), можно определить корреляционную функцию выходной последовательности

Средняя мощность последовательности на выходе системы

7.1.4. Воздействие последовательности с некоррелированными значениями на линейную систему.

Предположим, что на входе инвариантной линейной системы с дискретным временем действует случайная, стационарная в широком смысле, центрированная последовательность с некоррелированными значениями п. 5.1.4). Корреляционная функция такой последовательности

где — дисперсия последовательности, — символ Кронекера.

Из (7.8) и (7.23) следует, что в рассматриваемом случае корреляционная функция последовательности на выходе линейной системы [см. также (7.12)]

Ясно, что при центрированной последовательности на входе линейной системы последовательность на выходе также центрирована [см. (7.7)]. Дисперсия последовательности на выходе линейной системы согласно (7.24)

Из (7.17) и (7.23) видно, что спектральная плотность мощности случайной последовательности с некоррелированными значениями постоянна на всех частотах:

Тогда из (7.20) находим

т. е. нормированная спектральная плотность мощности на выходе линейной системы, когда на ее входе действует случайная последовательность с некоррелированными совпадает с квадратом амплитудно-частотной характеристики системы.

7.1.5. Реакция рекурсивного фильтра на входную некоррелированную последовательность.

Пусть на входе рекурсивного цифрового фильтра действует стационарная в широком смысле центрированная последовательность с некоррелированными значениями. Связь выхода со входом рекурсивного фильтра определяется стохастическим линейным разностным уравнением [см. (6.18)]

Общее, достаточно громоздкое решение уравнения (7.28) приведено в [28]. При это уравнение называют уравнением авторегрессии. Рекурсивный фильтр первого порядка можно описать простейшим уравнением авторегрессии

решение которого, как нетрудно доказать, имеет вид

Корреляционная функция последовательности

Из (7.31) следует, что последовательность на выходе рекурсивного фильтра стационарная.

При из (7.30) получаем стационарное решение уравнения (7.29):

Ряд (7.32) сходится в среднеквадратическом.

Стационарное значение дисперсии последовательности [см» (7.23)]

откуда следует

Подставляя (7.33) в (7.31), находим корреляционную функцию предельной стационарной выходной последовательности

Если выходная последовательность гауссовская, то в предельном случае согласно (7.32) и (7.34) выходная последовательность тоже гауссовская и марковская. Таким образом, при воздействии на вход рекурсивного фильтра первого порядка центрированной стационарной, гауссовской последовательности с некоррелированными (а следовательно, независимыми) значениями предельная последовательность на выходе фильтра — центрированная, стационарная, гауссовская, марковская.

7.1.6. Реакция нерекурсивного фильтра на входную некоррелированную последовательность.

Пусть на входе нерекурсивного цифрового фильтра действует стационарная в широком смысле дентрированная последовательность с некоррелированными значениями. Связь выхода со входом нерекурсивного фильтра определяется уравнением

которое называют уравнением скользящего среднего.

Корреляционная функция последовательности

и так как , то

Дисперсия выходной последовательности

Таким образом, при воздействии на вход нерекурсивного фильтра стационарной в широком смысле, центрированной последовательности с некоррелированными значениями последовательность на выходе фильтра также центрирована и стационарна в широком смысле, а ее корреляционная функция и дисперсия определяются по формулам (7.36) и (7.37).