3.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МОДУЛЯ И ФАЗЫ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА

3.2.1. Плотность вероятности модуля и фазы случайного вектора на плоскости.

Рассмотрим специальный вид преобразования двух случайных величин, представляющих значительный интерес для приложений,

(3,39)

Это преобразование взаимно однозначное, причем а возможные значения случайной величины заключены в пределах от 0 до (имеется в виду главное значение арктангенса). Геометрически преобразование (3.39) означает переход от случайных декартовых координат точки к ее случайным полярным координатам: модулю и фазе случайного вектора, начало которого находится в начале координат, а конец совпадает с точкой . Преобразование, обратное (3.39), имеет вид

(3.40)

Пусть задана двумерная функция распределения случайных декартовых координат и надо найти совместную функцию распределения полярных координат Так как якобиан преобразования от переменных к переменным равен

то, используя (3.26) для взаимно однозначного преобразования двух случайных величин, получаем

Если независимы, то

(3.41 а)

Из (3.41) находим плотность вероятности модуля и фазы случайного вектора

(3.43)

3.2.2. Плотность совместного распределения полярных координат случайных точек на плоскости.

Формулу (3.41) можно обобщить на случайных точек, декартовы координаты которых зависимы и характеризуются -мерной плотностью распределения Переход к модулям и фазам векторов совершается с помощью преобразования

Якобиан преобразования (3.44), как нетрудно показать, равен

Тогда в соответствии с (3.26) переход от -мерной плотности распределения случайных декартовых координат точек к мерной плотности распределения модулей и фаз векторов описывается формулой

Интегрируя (3.46) по переменным или получают -мерные плотности распределения модулей или фаз случайных векторов:

3.2.3. Распределение модуля вектора с независимыми гауссовскими компонентами.

С помощью полученных формул найдем плотность вероятности модуля случайного вектора, компоненты которого независимы и распределены нормально с параметрами соответственно.

Из (3.41 а) следует, что плотность совместного распределения модуля и фазы вектора в рассматриваемом случае

Тогда в соответствии с (3.42) после элементарных преобразований получаем

где — фаза вектора средних значений.

Заменяя и обозначая модуль вектора средних значений приводим интеграл к функции Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента

Таким образом, плотность вероятности модуля (вектора

Частным случаем (3.50) при является плотность распределения Рэлея

Поэтому функция (3.50) (рис. 3.6) может называться плотностью обобщенного распределения Рэлея.

Если , то, ограничиваясь первыми двумя членами разложения функции Бесселя в степенной ряд, получаем из (3.50)

Если , то в (3.50) функцию Бесселя можно заменить ее асимптотическим разложением

и тогда

В этом случае кривая плотности вблизи моды хорошо аппроксимируется кривой плотности нормального распределения (см. 5 на рис. 3.6) с параметрами .

Рис. 3.6. Плотность обобщенного распределения Рэлея

Функция распределения модуля вектора с независимыми гауссовскими компонентами (с одинаковыми дисперсиями )

(3.53)

в элементарных функциях не выражается. Имеются подробные таблицы этой функции распределения

3.2.4. Моменты случайной величины, распределенной по обобщенному закону Рэлея.

Из (3.50) находим

где — гипергеометрическая функция (см. Приложение 5 в [1]).

Среднее значение, второй и третий начальные моменты равны

(3.546)

Если то, используя приведенное выше аспимптотическое разложение бесселевой функции, находим

3.2.5. Плотность вероятности фазы вектора с независимыми гауссовскими компонентами.

Определим плотность вероятности фазы вектора с независимыми гауссовскими компонентами. В соответствии с общей формулой (3.43) плотность вероятности фазы в рассматриваемом случае [см. также (3.49)]

Рис. 3.7. Плотность распределения фазы

Путем дополнения экспоненты в подынтегральной функции до полного квадрата и замены переменной интегрирования

где и — величины, введенные в п. 3.2.3, и использования обозначения интеграла Лапласа [см. (2.68)], находим плотность вероятности фазы

На рис. 3.7 построено семейство кривых распределения фазы при нескольких значениях отношения . Как видно из (3.57) и из рис. 3.7, функция четная. При

(3.57 а)

что соответствует равномерному распределению фазы.

Если то, разлагая правую часть в (3.57) в степенной ряд по и пренебрегая членами второго порядка малости, получаем

Таким образом, с точностью до малых порядка плотность распределения фазы вектора представляет собой косинусоиду, смещенную вдоль оси ординат на

Если то из (3.57) находим

Вблизи моды кривой плотности

т. е. распределение фазы нормальное со средним дисперсией

Функция распределения фазы вектора, компоненты которого — независимые гауссовские случайные величины с одинаковыми дисперсиями, выражается через табулированную функцию Никольсона (см. Приложение 9 в [5]).

3.2.6. Центральные моменты распределения фазы.

Определим центральные моменты фазы

Ясно, что в силу симметрии распределения все моменты нечетного порядка равны нулю.

Для вычисления интеграла в правой части (3.61) разложим функцию [см. (3.66)] на интервале в ряд Фурье. Для этого достаточно воспользоваться известным из теории бесселевых функций равенством

для разложения на указанном интервале подынтегральной функции в (3.56) и интегральным представлением гипергеометрической функции. В результате

где

где — гипергеометрическая функция.

Подставляя (3.62) в (3.61), получаем

Дисперсия фазы

Если , то , а при , как уже указывалось,