10.6. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ ОГИБАЮЩЕЙ И ФАЗЫ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА

10.6.1. Совместное распределение огибающей, фазы и их производных.

Определим совместное распределение (в совпадающие моменты времени) огибающей, фазы и их первых производных узкополосного, дифференцируемого в среднеквадратическом, гауссовского случайного процесса. Исходным для решения поставленной задачи является совместное четырехмерное нормальное распределение квадратурных составляющих стационарного слагаемого гауссовского процесса и их производных в совпадающие моменты времени [см. (10.35)]. В соответствии с результатами п. 10.1.3 корреляционная матрица этого нормального распределения

Здесь согласно (10.31) и (10.29) [см. также (10.50), (10.51)]

(10.125 б)

где — спектральная плотность мощности стационарной части узкополосного гауссовского случайного процесса.

Детерминант указанной корреляционной матрицы

(10.126)

Теперь можно записать совместную четырехмерную плотность вероятности квадратурных составляющих и их производных в 1 совпадающие моменты времени

(10.127)

Заменой переменных в (10.127)

(10.128)

с учетом того, что якобиан преобразования (8.128) равен , получаем искомую четырехмерную плотность огибающей, фазы и их производных в фиксированный момент времени

где

10.6.2. Совместное распределение огибающей и ее производной.

Для определения совместной плотности вероятности огибающей и ее производной в совпадающие моменты времени необходимо проинтегрировать (10.129) по и . Это интегрирование выполняется просто тогда, когда нет фазовой модуляции детерминированного колебания , а спектр симметричный, причем несущая совпадает со средней частотой . При этом и из (10.129) следует

(10.130)

Если (гармоническое колебание постоянной амплитуды), то функция Бесселя под знаком интеграла не зависит от переменной интегрирования и тогда

(10.131)

Сравнивая (10.131) с (10.56), находим

(10.132)

т. е. совместная плотность вероятности огибающей и ее производной равна произведению плотности вероятности огибающей (обобщенная функция Рэлея) и плотности вероятности производной, которая оказывается нормальной с нулевым средним и дисперсией . Из (10.132) следует, что огибающая узкополосного нормального процесса и ее производная в совпадающие моменты времени независимы [ср. (4.150)].

10.6.3. Распределение мгновенной частоты.

Определим теперь совместную плотность вероятности фазы и ее производной. Сохраняя предположение о симметрии спектра , а также полагая и проинтегрируем (10.129) по , в результате чего получаем

Интегрируя (10.133) по , находим плотность вероятности мгновенной частоты производной от фазы суммы гармонического колебания постоянной амплитуды и стационарного гауссовского процесса

или, обозначив

(10.134)

где — гипергеометрическая функция.

Величина s равна отношению амплитуды сигнала к среднеквадратическому значению шума, а величина пропорциональна ширине полосы спектра шума. Функция четная (рис. 10.4).

Рис. 10.4. Плотность вероятности мгновенной частоты гауссовского процесса

Если то, разлагая в (10.134) гипергеометрическую функцию в ряд Тейлора и ограничиваясь двумя членами разложения, получаем

(10.134 а)

При используя асимптотическое разложение гипергеометрической функции, находим

(10.1346)

При распределение мгновенной частоты — нормальное с дисперсией . Оно стремится к дельта-функции при неограниченном возрастании

Для стационарного гауссовского процесса плотность вероятности мгновенной частоты [см. (10.134 а)]

(10.135)

Сравнивая (10.135) с (10.133) при убеждаемся, что совместная плотность вероятности фазы и ее производной стационарного гауссовского процесса равна произведению одномерных функций распределения фазы и ее производной, откуда следует их независимость в совпадающие моменты времени в согласии с общим результатом (4.150).

Функция распределения мгновенной частоты (производной от фазы) стационарного гауссовского процесса при

(10.136 а)

10.6.1. Среднее значение модуля мгновенной частоты.

Среднее значение производной фазы ввиду симметрии равно нулю. При попытке вычислить дисперсию производной от фазы мы наталкиваемся на расходимость интеграла Действительно, из (10.134) следует, что убывает при как и, следовательно, подынтегральная функция в указанном интеграле убывает как т.е. недостаточно быстро для того, чтобы обеспечить сходимость несобственного интеграла. Таким образом, дисперсия производной от фазы неограничена Функция (10.134) представляет пример распределения случайной величины, дисперсия которой неограничена.

За числовую характеристику распределения мгновенной частоты производной от фазы можно принять среднее ее абсолютных значений, т. е.

(10.137)

Подставляя (10.134) в (10.137) и меняя порядок интегрирования, получаем

или, выражая гипергеометрическую функцию через функцию Бесселя,

(10.138)

Если детерминированная часть процесса отсутствует (), то

10.6.5. Корреляционная функция и спектр мгновенной частоты.

Рассмотрим стационарный узкополосный гауссовский процесс с симметричным относительно центральной частоты спектром. В соответствии с (10.15) производная от фазы (мгновенная частота) этого случайного процесса

Корреляционная функция случайного процесса

Для определения как видно из (10.141), необходимо знать совместную нормальную плотность вероятности восьмого порядка гауссовских случайных величин ,

В силу сделанного предположения о симметрии спектра исходного гауссовского процесса случайные функции независимы.

Достаточно громоздкие вычисления (см. [1]) приводят к следующему выражению корреляционной функции мгновенной частоты стационарного гауссовского процесса:

(10.142)

где — нормированная корреляционная функция квадратурных составляющих определяемая спектром гауссовского процесса по формуле (10.50).

Из (10.142) следует, что . Это соответствует

указанной неограниченности дисперсии производной от фазы стационарного гауссовского процесса. Поэтому требуется известная осторожность при исследовании вероятностных характеристик производной от фазы. Например, если воспользоваться равенством справедливым лишь при условии ограниченности то придем к ошибочному результату.

Пусть корреляционная функция гауссовского процесса [см. (7.72)]

Тогда

и из (10.142) получаем

(10.143)

Параметр , где — ширина полосы спектра гауссовского процесса.

Спектр мгновенной частоты находим по теореме Хиичина-Винера

(10.144)

Разлагая логарифм в ряд и интегрируя почленно, получаем

При спектральная плотность мощности

где — римановская дзета-функция. Имея в виду, что , находим

(10.146 а)