Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

2.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

2.1.1. Определение случайной величины.

Случайная величина — числовая форма представления заранее непредсказуемых результатов эксперимента, для которого выполняются условия, приведенные в п. 1.1.1. Она характеризуется множеством возможных значений и распределением вероятностей, заданным на этом множестве.

Если множество возможных значений случайной величины конечное или счетное

то случайная величина называется дискретной. При этом каждому возможному значению дискретной случайной величины можно поставить в соответствие событие , а всему множеству возможных значений — полную группу событий. Тогда распределение вероятностей дискретной случайной величины представляет совокупность вероятностей, характеризую эту полную группу событий:

В дальнейшем, когда пределы суммирования могут быть конечными или бесконечными, указывается только индекс суммирования [см. (2.16)].

Однако не всегда можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством возможных значений случайной величины и полной группой событий. Так, результаты измерений физической величины могут принадлежать континууму значений, т. е. заполнять интервал действительной оси. Если возможные значения случайной величины заполняют интервал, то введение понятия вероятности сложнее. Случайная величина принимает несчетное множество значений, и априорная вероятность фиксированного значения не имеет смысла, так как эта вероятность равна нулю. Можно, однако, разбить интервал возможных значений случайной величины на конечное число непересекающихся отрезков. Тогда совокупность событий, состоящих в том, что случайная величина попадет в каждый из этих отрезков, образует полную группу. При этом введение понятия вероятности того, что значения случайной величины находятся в пределах некоторого отрезка, становится аналогичным дискретному случаю.

Такой способ определения распределения вероятностей однозначен для дискретных случайных величин и неоднозначен для случайной величины, значения которой заполняют интервал. В последнем случае остается совершенно произвольным правило разбиения интервала на конечное число непересекающихся отрезков. Поэтому рассмотрим общепринятый подход к определению распределения, справедливый для случайных величин обоих указанных видов.