3.3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

3.3.1. Определение характеристической функции.

Характеристической функцией случайной величины называется среднее значение случайной величины , где v — действительная переменная. В соответствии с (3.14) характеристическая функция случайной величины

Воспользовавшись представлением (2.17) плотности вероятности в виде суммы дельта-функций, можно распространить формулу (3.66) на дискретные случайные величины

(3.66 а)

Интеграл (3.66) и соответственно сумма (3.66 а) сходятся при любых действительных значениях переменной v, так как . Поэтому характеристическая функция определена для каждой случайной величины.

Заметим, что для Симметричного распределения, когда мнимая часть в (3.66) равна нулю, и, следовательно, характеристическая функция является действительной четной функцией . Наоборот, если характеристическая функция принимает только действительные значения, то она четна и соответствующее ей распределение симметрично.

Из (3.66) следует, что характеристическая функция и плотность вероятности являются парой преобразований Фурье. Поэтому плотность вероятности случайной величины можно найти обратным преобразованием Фурье ее характеристической функции

Если — характеристическая функция случайной величины то для случайной величины получаемой линейным преобразованием , характеристическая функция

3.3.2. Вычисление моментов и кумулянтов распределения.

Одним из полезных применений характеристической функции является упрощение вычислений моментов распределения. Если существуют начальный момент распределения случайной величины то характеристическая функция этой величины имеет производную порядка, причем

откуда следует

Из (3.69) при находим среднее значение случайной величины

(3.69 а)

Если существуют моменты любого порядка, то, как следует из (3.69), характеристическую функцию можно представить рядом Маклорена

Центральные моменты распределения связаны простыми соотношениями с производными от логарифма характеристической функции называемого кумулянтной функцией.

Разлагая кумулянтную функцию в ряд Маклорена (в предположении, что этот ряд сходится), получаем

где

(3.71а)

Коэффициенты ряда (3.71), называемые кумулянтами семиинвариантами распределения, выражаются через центральные моменты (см. [6]).

Из (3.71) следует

Используя (3.67), получим [31]

Следствием формулы (3.72) является соотношение

из которого интегрированием по частям находим

(3.73 а)

и далее

(3.736)

где

3.3.3. Характеристическая функция гауссовской случайной величины.

В соответствии с (3.66) характеристическая функция случайной величины, распределенной нормально с параметрами

Заменяя показатель экспоненты в подынтегральной функции приводим к полному квадрату. После интегрирования приходим к следующему выражению характеристической функции гауссовской случайной величины:

Кумулянтная функция гауссовской случайной величины

(3.74 а)

Таким образом, для нормального распределения [см. (3.71а)]

Найдем общее выражение для центральных моментов нормального распределения, используя (3.69) и учитывая, что центральные моменты совпадают с начальными при нулевом среднем значении

3.3.4. Многомерная характеристическая функция.

Характеристической функцией совокупности случайных величин называется среднее значение случайной величины причем компоненты вектора — действительные переменные. В соответствии с (3.15)

где — многомерная плотность вероятности совокупности случайных величин. Интеграл (3.77) сходится при любом действительном векторе v, так как Следовательно, являются парой преобразований Фурье и

По заданной характеристической функции совокупности случайных величин нетрудно найти характеристическую функцию совокупности случайных величин

Если — совокупность независимых случайных величин, то плотность их совместного распределения факторизуется , переменные интегрирования в (3.77) разделяются и тогда

т. е. многомерная характеристическая функция является произведением характеристических функций каждой из случайных величин. Условие (3.80), как и условие (2.43), является необходимым и достаточным для независимости случайных величин

Пусть и — два случайных вектора. Для их независимости необходимо и достаточно выполнить условие

(3.80 а )

Логарифм многомерной характеристической функции называется многомерной кумулянтной функцией. Разлагая (3.81) в кратный ряд Тейлора, получаем

(3.81 а)

где — кумулянты высших порядков.

Для совокупности независимых случайных величин из (3.80) следует

3.3.5. Вычисление моментов и кумулянтов многомерного распределения.

Многомерную характеристическую функцию можно использовать для определения смешанных моментов распределения совокупности случайных величин. Если существует производная

то

Кумулянты многомерного распределения

Простейшим кумулянтом двумерного распределения является ковариация случайных величин [см. (2.46)]

где

(3.846)

Из (3.846) следует

Используя (3.78), получаем [31]

Следствием (3.84в) является соотношение

3.3.6. Распределение вероятностей линейной комбинации случайных величин.

Как было показано в п. 3.1.14, чтобы определить плотность совместного распределения линейной комбинации случайных величин, даже при независимости слагаемых необходимо вычислить кратный интеграл. Использование такого решения уже при умеренном числе слагаемых становится практически невозможным даже при современной вычислительной технике. Однако известно, что для характеристики линейных преобразований сигналов эффективно используется гармонический анализ (интеграл Фурье). Поэтому исследовать распределение вероятностей линейного преобразования значительно легче, если вместо плотности вероятности рассматривать ее «спектр» (характеристическую функцию), поскольку при этом решение указанной задачи упрощается.

Рассмотрим совокупность случайных величин и предположим, что известна многомерная характеристическая функция этой совокупности. Рассмотрим далее случайную величину , которая представляет линейную комбинацию случайных величин

Характеристическая функция случайной величины

откуда следует

Таким образом, характеристическая функция линейной комбинации (3.85) случайных величин получается простой подстановкой в аргументах многомерной характеристической функции исходной совокупности случайных величин.

Плотность вероятности линейной комбинации (3.85) находим путем однократного обратного преобразования Фурье [см. (3.67)]. Конечно, такое упрощение задачи связано с предположением о том, что известна или может быть легко найдена многомерная характеристическая функция . Такое предположение в некоторых случаях (практически интересных) имеет место.

Дальнейшее упрощение решения рассматриваемой задачи возможно, если случайные величины независимы. Тогда из (3.86) и (3.80) следует

Кумулянтная функция линейной комбинации независимых случайных величин

(3.87 а)

откуда следует

(3.87 б)

В частном случае, когда и все слагаемые имеют одинаковое распределение, т. е. из (3.87), (3.87 а) находим характеристическую и кумулянтную функции суммы независимых случайных величин:

откуда следует

Характеристическая функция суммы двух независимых одинаково распределенных случайных величин

(3.88 в)

а характеристическая функция разности таких случайных величин

(3.88 г)

Из (3.88 г) следует, что распределение разности независимых, одинаково распределенных случайных величин симметричное.

Заметим, что формулы (3.87) и (3.88) легко обобщаются на векторные случайные слагаемые. Для этого достаточно скалярный аргумент у заменить векторным v соответствующей размерности.

3.3.7. Характеристическая функция совокупности гауссовских случайных величин.

Характеристическая функция совокупности зависимых гауссовских случайных величин

где — среднее и дисперсия случайной величины а — коэффициент корреляции случайных величин

Формулу (3.89) легко получить, если использовать матричное представление

где — вектор средних значений, К — ковариационная матрица, штрих указывает на транспонированную матрицу [см. (2.64)].

Кратный интеграл в (3.90) вычисляется путем линейного преобразования переменных интегрирования, приводящего квадратичную форму в показателе экспоненты к сумме квадратов (см. гл. 11 в [6]).

3.3.8. Распределение вероятностей линейной комбинации гауссовских случайных величин.

Из (3.86) и (3.89) следует, что характеристическая функция линейной комбинации (3.85), в которой — гауссовские случайные величины,

Обозначая

перепишем это выражение

Сравнивая (3.92) с (3.74), замечаем, что линейная комбинация произвольно зависимых гауссовских случайных величин представляет гауссовскую случайную величину, подчиняющуюся нормальному распределению вероятностей, со средним значением и дисперсией, определяемыми согласно (3.91). При этом следует заметить, что формулы (3.91) относятся к линейным комбинациям любых случайных величин [см. (3.17) и (3.21)], а новым результатом применения метода характеристических функций является установление нормального распределения произвольной линейной комбинации любого числа случайных величин, подчиняющихся многомерному нормальному распределению. Свойство инвариантности нормального распределения по отношению к линейному преобразованию полностью характеризует этот класс распределений (подробнее см. в [7]).