18.2. УСТОЙЧИВОСТЬ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОГО АЛГОРИТМА ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА

18.2.1. Устойчивость асимптотически оптимальных алгоритмов.

Предположим, что алгоритм обнаружения детерминированного сигнала, асимптотически оптимальный относительно аддитивной независимой помехи с плотностью распределения используется для обнаружения сигнала на фоне аддитивной независимой помехи с другой плотностью Обозначим, как и в п. 17.1.5, этот алгоритм через , а алгоритм обнаружения, асимптотически оптимальный относительно помехи с плотностью распределения через . Алгоритм использует центрированную статистику [см. (17.81)], а алгоритм — статистику [см. (17.79)]. Согласно п. 17.5.2 эти статистики асимптотически нормальные с параметрами

(18.37 а)

где определяются согласно (17.56), (17.77), (17.84), (17.83), (17.86) соответственно.

Теперь, используя (17.16), нетрудно найти КАОЭ алгоритма по отношению к алгоритму . Из (18.37 а) следует

(18.38)

Подставляя (18.38) в (17.16), получаем

(18.39)

или, учитывая (17.77), (17.83), (17.86),

(18.40)

Если плотности симметричны относительно нуля, то и нет необходимости центрировать статистику (17.59).

В этом случае а выражение (18.40) приобретает более простой вид

(18.41)

Формула (18.41) представляет квадрат коэффициента корреляции случайных величин когда плотность распределения случайной величины равна . Поэтому причем равенство достигается при

18.2.2. Устойчивость линейного алгоритма.

Как уже отмечалось, линейный алгоритм (18.17) оптимален при аддитивной независимой гауссовской помехе. Предположим, что линейный алгоритм используется для обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой негауссовской помехи с дисперсией и плотностью распределения . Найдем КАОЭ алгоритма по отношению к алгоритму асимптотически оптимальном при помехе с плотностью . Так как для линейного алгоритма то [см. (18.41)]

Далее, учитывая, что и

получаем

(18.42)

Кроме того, из (18.10) находим

(18.43)

Тогда из п. 18.1.6. непосредственно следует, что КАОЭ линейного алгоритма, применяемого для обнаружения сигнала на фоне аддитивной независимой помехи по отношению к асимптотически оптимальному алгоритму при той же помехе, равен: при лапласовской помехе

(18.44 а)

при логистической

(18.44 б)

при помехе, распределенной по закону Стьюдента,

(18.44 в)

18.2.39. Устойчивость знакового алгоритма.

Знаковый алгоритм (18.26) - асимптотически оптимальный при обнаружении детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой лапласовской помехи. Предположим, что знаковый аглоритм используется при помехе с плотностью , отличающейся от лапласовской. Фиксируя дисперсию помехи и сохраняя предположение о симметрии функции , а также учитывая (18.35), находим из (18.41)

Но

и, следовательно,

(18.45)

Из результатов, приведенных в п. 18.1.4, непосредственно следует, что КАОЭ знакового алгоритма, используемого для обнаружения сигнала на фоне аддитивной независимой помехи, по отношению к алгоритму, асимптотически оптимальному при той же помехе, равен: при гауссовской помехе

(18.46 а)

при логистической

(18.466)

при помехе, распределенной по закону Стьюдента,

(18.46 в)

Из (18.46в) следует, что при , а при КАОЭ изменяется в пределах