15.1.5. Синтез оптимального алгоритма обнаружения по коррелированной выборке.

Рассмотренный случай независимой выборки часто оказывается нереальным, так как для накопления выборки достаточного размера потребуется недопустимо большое время наблюдения. Поэтому рассмотрим задачу синтеза оптимального дискретно-аналогового алгоритма обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи при произвольном интервале дискретизации. В этом случае функции правдоподобия коррелированной (зависимой) выборки при гипотезе и при альтернативе определяются формулами (15.3) и (15.4). Теперь достаточная статистика логарифма отношения правдоподобия

или

(15.24)

Рис. 15.4. Схема согласованного цифрового фильтра: х — регистр сдвига; а — аттенюатор (или усилитель)

Так как корреляционная матрица помехи и детерминированный сигнал представляют априори известные данные, то достаточной статистикой является также

(15.25)

Вводя вектор-строку можно представить статистику (15.25) в виде скалярного произведения (суммы):

(15.26)

т. е. линейной комбинации гауссовских случайных величин. Когда сигнала нет, то

(15.27)

Используя находим уравнение, определяющее порог при заданной вероятности а ложной тревоги:

(15.29)

или

(15.30)

где — процентная точка нормального распределения, а

(15-31)

— элементы матрицы

Заметим, что величина которую можно назвать обобщенным отношением сигнал-помеха, всегда положительна, так как корреляционная матрица К положительно определенная.

Теперь можно сформулировать оптимальный по критерию Неймана — Пирсона дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения сигнала на фоне аддитивной коррелированной гауссовской помечи: принимается решение 71 о наличии сигнала, если

(15.32)

и решение о том, что сигнала нет, в противном случае.

Как и при независимой выборке, оптимальный алгоритм обнаружения сигнала (15.32) состоит в вычислении корреляционной суммы и сравнение ее с порогом. Отличие состоит в том, что весовые коэффициенты корреляционной суммы представляют компоненты вектора и, зависящего и от сигнала, и от корреляционной матрицы помехи.

Устройство, реализующее алгоритм (15.32), также является дискретным коррелометром, структурная схема которого отличается от схемы, изображенной на рис. 15.1, тем, что генератор сигнальных значений заменяется генератором значений компонент вектора

Как и при независимой выборке, корреляционную обработку можно выполнить при помощи цифрового фильтра с импульсной характеристикой

(15.33)

где — компоненты вектора и [ср. с (15.23) и рис. 15.4].