ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Методы обработки сигналов > Теоретические основы статистической радиотехники
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11.2. УСИЛИТЕЛЬ — КВАДРАТИЧНЫЙ ДЕТЕКТОР — ФИЛЬТР

11.2.1. Прямое описание случайного процесса на выходе фильтра.

Пусть линейные системы рассматриваемого типового звена характеризуются импульсными функциями: УПЧ-функцией и фильтр-функцией

Обозначим через детерминированный сигнал и -аддитивный гауссовский белый шум, действующие на входе УПЧ. Используя (6.58), процесс на выходе фильтра можно представить в виде суммы (сходящейся в среднеквадратическом)

где

— собственные функции и собственные числа однородного интегрального уравнения [см. (6.57), (6.55)]

Заметим, что интегральное уравнение (11.6) может быть приведено к другому уравнению, ядро которого есть произведение корреляционной функции шума на выходе УПЧ и импульсной функции фильтра. Для этого подставим (11.7) в (11.6) и изменим порядок интегрирования

Умножая обе части последнего равенства на и интегрируя по , получаем

где . Согласно (7.55) корреляционная функция процесса на выходе УПЧ

где спектральная плотность белого шума на входе.

Следовательно, удовлетворяет интегральному уравнению

11.2.2. Анализ слагаемых процесса на выходе фильтра.

Из (11.3) следует, что задача анализа вероятностных характеристик случайного процесса на выходе рассматриваемого типового звена сводится к определению плотности вероятности суммы квадратов случайных процессов где детерминированы, а случайные процессы как интегралы от гауссовского белого шума, представляют гауссовские процессы. Покажем, что случайные величины и при некоррелированы, а следовательно, в силу нормального распределения — независимы.

Рассмотрим среднее значение произведения

Имея в виду, что корреляционная функция белого шума со спектральной плотностью равна и учитывая фильтрующее свойство дельта-функции (см. Приложение 1), находим

Но собственные функции линейного однородного интегрального уравнения (11.6) ортонормированы, поэтому

т. е. гауссовские случайные величины при независимы, причем любая из этих величин центрирована и дисперсия при любом

Из (11.9) следует, что случайные величины три также независимы.

Процесс на выходе фильтра непрерывный в среднеквадратическом и поэтому т. е. дисперсия бесконечной суммы в (11.3) ограничена. Отсюда следует, что отношение дисперсии любого слагаемого суммы к дисперсии всей суммы отлично от нуля, т. е. условие (3.109), при котором может применяться центральная предельная теорема для суммы независимых случайных величин, в рассматриваемом случае не выполняется.

Следовательно, распределение суммы (11.3) отличается от нормального, т. е. процесс на выходе фильтра негауссовский.

11.2.3. Распределение процесса на выходе фильтра.

Определим сначала характеристическую функцию суммы (11.3) при конечном числе слагаемых

так как в силу независимости совместная плотность вероятности случайных величин

(11.11)

Дополняя показатель экспоненты под знаком интеграла (11.10) до полного квадрата и интегрируя, после несложных алгебраических преобразований имеем

Переходя к пределу при находим одномерную характеристическую функцию процесса на выходе фильтра

(11.12)

Если сигнал отсутствует, то и из (11.12) следует

Одномерная плотность вероятности случайного процесса на выходе фильтра получается из (11.13) обратным преобразованием Фурье. Вычислить обратное преобразование Фурье от бесконечного произведения очень трудно. Приближение, быстро приводящее к требуемому результату, состоит в ограничении числа сомножителей в указанном произведении, т. е. в аппроксимации процесса на выходе типового звена конечным числом членов ряда (11.3). При этом (если все характеристические числа различны) интегрирование при преобразовании от характеристической функции к плотности вероятности выполняется достаточно просто методами теории вычетов. Однако достижение приемлемой точности потребует все же учета большого числа членов ряда (11.3).

11.2.4. Распределение процесса на выходе квадратичного детектора.

Заметим также, что в формуле (11.12) содержатся явно характеристические числа и неявно (в величинах ) собственные функции

Для определения которых необходимо еще решить интегральное уравнение (11.6). Решение этого интегрального уравнения получается чрезвычайно простым, если частотная характеристика фильтра равномерная на всех частотах. В этом случае и из (11.7), учитывая фильтрующее свойство дельта-функции, находим

(11.14)

Ядро (11.14) вырожденное: ему соответствует лишь одно собственное значение и одна собственная функция причем К находится из условия, что -нормированная функция, т. е.

Отношение

представляет дисперсию шумов на выходе УПЧ [см. (7.55 а)]. Из (11.12) находим в рассматриваемом случае характеристическую функцию

(11.15)

где — сигнал на выходе УПЧ.

Так как выходной фильтр имеет неограниченную полосу, то формула (-характеристическая функция процесса на выходе квадратичного детектора (квадрата гауссовского процесса с дисперсией ). Обратное преобразование Фурье от характеристической функции (11.15) совладает с (9.86) (конечно, при соответствующей замене а на ).

11.2.5. Узкополосный усилитель.

В этом случае после детектора отфильтровывается высокочастотная часть процесса и на фильтр подается квадрат огибающей

Представим узкополосный гауссовский случайный процесс на выходе УПЧ в виде суммы [см. (10.35)]

(11.16)

где — квадратурные составляющие сигнала — независимые (в совпадающие моменты времени), нормально распределенные квадратурные составляющие гауссовского шума . В этом случае процесс на выходе фильтра можно представить в виде суммы двух независимых в совпадающие моменты времени слагаемых

где

(11.19)

Так как составляющие распределены нормально, их корреляционные функции одинаковы и равны огибающей корреляционной функции процесса то соответствующее рассматриваемому случаю ядро интегрального уравнения (11.6) запишется в виде

(11.20)

где - огибающая импульсной переходной функции узкополосного УПЧ [см. (6.35 а)]. Интегральному уравнению (11.8) в рассматриваемом случае соответствует

(11.21)

Представляя каждое из слагаемых (11.17) суммой вида (11.3) и обозначая

(11.22 а)

[где u(t) и v(t) - квадратурные составляющие сигнала s(t)] по аналогии с (11.10) (при замене в этой формуле один раз s на , а другой раз на ) получаем следующее выражение для характеристической функции отфильтрованного квадрата огибающей:

(11.23)

Обратным преобразованием Фурье из (11.23) находим одномерную функцию распределения процесса на выходе фильтра. Если сигнал отсутствует, то и из (11.23) следует

(11.24)

Так же, как и в предыдущем случае, для получения плотности вероятности необходимо решить интегральное уравнение (11.21) для того, чтобы определить в (11.23) величины

Только тогда, когда частотная характеристика фильтра равномерна на всех частотах, произведение в правой части (11.23) содержит только один сомножитель

(11.25)

где — огибающая сигнала. Формула (11.25) определяет характеристическую функцию квадрата огибающей гауссовского процесса. Обратное преобразование Фурье функции (11.25) совпадаете (10.75).

11.2.6. Приближенный метод определения плотности вероятности процесса на выходе фильтра.

Решение интегрального уравнения (11.6) и преобразование Фурье от бесконечных произведений в общем случае связаны с большими математическими трудностями, которые преодолеваются путем некоторых приближений. Поэтому заслуживает внимания приближенный метод непосредственного определения плотности вероятности процесса на выходе фильтра, минуя этапы решения интегрального уравнения (11.6) и обращения характеристической функции. Этот метод основан на вычислении кумулянтов случайного процесса на выходе фильтра и аппроксимации искомой плотности вероятности при помощи этих кумулянтов (см. § 7.3).

Из (11.12) находим

(11.26)

откуда последовательным дифференцированием определяем кумулянтную функцию порядка случайного процесса на выходе фильтра [см. (4.13 а)]

Аналогично можно найти кумулянтную функцию квадрата огибающей, прошедшей через фильтр [см. (11.23)]:

(11.28)

Если сигнал отсутствует то

Входящие в (11.27) и (11.28) ряды можно выразить через итерации ядра [см. (4.61), (4.62)]:

(11.30)

Подставляя в интеграл (11.30) вместо ядра разложение и учитывая, что совокупность функций ортогональна и нормирована, получаем

(11.31)

Аналогично

Подставляя (11.31) и (11.32) в (11.27), находим

(11.33)

По формуле (11.33) можно определить кумулянты произвольного (порядка случайного процесса на выходе фильтра без решения интегрального уравнения (11.6).

Нетрудно записать выражение, аналогичное (11.33), и для кумулянтов профильтрованного квадрата огибающей

(11.34)

Если сигнал отсутствует, то двойные интегралы в (11.33) и (11.34) исчезают. В этом случае относительно просто вычисляются в общем виде кумулянты первых двух порядков: среднее и дисперсия. Например, из (11.33) находим

(11.36)

Конечно, формулы (11.35) и (11.36) получаются и непосредственно, если воспользоваться выражениями корреляционных функций квадрата гауссовского процесса или квадрата огибающей гауссовского процесса [см. (9.85) и (10.78)] и правилом преобразований корреляционной функции в линейной системе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление