15.1.8. Оптимальный алгоритм обнаружения по независимым координатам.

Рассмотрим задачу синтеза оптимального дискретно-аналогового алгоритма обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи при фильтровом способе дискретизации наблюдаемой реализации случайного процесса. Достаточная статистика формируется на основе независимых координат определяемых согласно (15.40) и представляющих гауссовские случайные величины, средние и дисперсии которых (при гипотезе и альтернативе) находят по формулам (15.41 а-в).

Функции правдоподобия выборки составленной из указанных независимых координат, запишутся в виде

(15.42)

Теперь достаточная статистика логарифма отношения правдоподобия

(15.44)

или

(15.44 а)

Рис. 15.6. Схема фильтровой дискретизации: Фк — линейный фильтр с импульсной характеристикой (15.39); ИУ — блок, в котором хранятся собственные функции и собственные числа интегрального уравнения (15-38) для заданной корреляционной функции помехи

Следует иметь в виду, что формула (15.44 а) не отличается от формулы (15.9) только потому, что для разных величин использованы одинаковые обозначения. В (15.9) величина получена путем мгновенной дискретизации при условии, что интервал дискретизации достаточно большой, поэтому можно не учитывать коррелированность значений помехи и полагать выборку независимой. В (15.44 а) величина получена путем фильтровой дискретизации, которая зависит от корреляционной функции помехи, хотя и позволяет сформировать независимую выборку. Аналогичное замечание относится и к величине — значение сигнала в момент а в (15.44 а) — координата сигнала в базисе собственных функций интегрального уравнения (15.38) и, следовательно, определяется и сигналом, и корреляционной функцией помехи [см. (15.416)]. Из последнего замечания следует, что второе слагаемое в (15.44 а) представляет априори известные данные о сигнале и помехе и поэтому достаточной статистикой является также

(15.45)

которая представляет гауссовскую случайную величину.

При гипотезе (сигнала нет)

(15.46)

Из (15.45) — (15.47) находим значение порога при заданной вероятности а ложной тревоги с (15.14) и (15.29)]:

(15.48)

где — процентная точка нормального распределения вероятности, а величина определяется по формуле (15.47).

Оптимальный по критерию Неймана — Пирсона алгоритм обнаружения запишется в виде

(15.49)

Рабочая характеристика обнаружения

(15.60)

в рассматриваемом случае формально совпадает с (15.20) и (15.87). Необходимо учитывать лишь, что параметр рабочей характеристики отличается от соответствующих параметров для рабочих характеристик алгоритмов, синтезированных по выборкам, которые получены путем мгновенной дискретизации. Однако и при этом можно использовать графики рабочих характеристик, изображенных на рис. 15.2 и 15.3, если заменить параметр параметром согласно формуле (15.47), которая учитывает и вид сигнала, и корреляционную функцию помехи. Заметим, что и в рассматриваемом случае параметр равен «расстоянию» между статистиками при гипотезе и альтернативе.

Статистика (15.45), как и (15.10), (15.26), представляет корреляционную сумму и, следовательно, структурные схемы дискретного коррелометра (рис. 15.1) и цифрового фильтра (рис. 15.4) представляют устройства, реализующие алгоритм (15.49), если только иметь в виду, что выборочные значения и сигнальные значения на этих схемах заменены величинами на выходах фильтров (рис. 15.6), когда на их входы действуют наблюдаемая реализация и детерминированный сигнал соответственно.