5.6. ЗАДАЧИ

5.1. Доказать строгую стационарность квазидетерминированного процесса

при условии, что случайные величины взаимно независимы, причем распределена равномерно на интервале . Проварить, что

где — характеристическая функция случайной величины

Доказать, что при постоянных процесс эргодический, (причем

5.2. Доказать, что двумерная плотность вероятности и двумерная характеристическая функция гармонического колебания постоянной амплитуды и частоты с равномерно распределенной фазой равны

— функция Беоселя порядка от мнимого аргумента,

5.3. Показать, что одномерная характеристическая функция квазидетерминированного стационарного процесса где — постоянная, Ф (распределена равномерно на интервале , а распределение а равна имеет вод

где — функция Бесселя нулевого порядка.

Указание. Представить одномерную плотность вероятности в виде

и использовать результат задачи 3.8.

5.4. Замечая, что в условиях задачи 5.3 одномерное распределение всегда симметрично (поскольку ) — действительная и четная функция), установить следующую связь между моментами четного порядка и амплитуды а:

Если то показать, что

[см. (3.76)].

5.5. Доказать справедливость следующего соотношения для гауссовского случайного процесса:

Обобщить формулу (10) на гауссовский случайный процесс с нулевым средним

где суммирование ведется по воем различным способам, по каким можно разделить моментов времени на пар.

Указание. Использовать связь моменгшьгх функций гауссовского процесса с его многомерной характеристической функцией.

5.6. Рассмотреть случайный телеграфный сигнал реализациями которого являются «прямоугольные волны» (рис. 5.6), принимающие два значения h и —h. Пусть число перемен знака полярности сигнала на интервале (0, t) представляет пуассоновский процесс, подчиняющийся распределению (5.45). Доказать, что корреляционная функция телеграфного сигнала при указанных предположениях

где — интенсивность луаошновского процесса.

Показать, что для однородного пуассоновского потока случайных моментов перемен знака телеграфного сигнала с интенсивностью корреляционная функция и спектральная плотность мощности сигнала

Убедиться, что стационарный в широком смысле случайный телеграфный сигнал непрерывен в среднеквадратическом (хотя каждая его реализация имеет бесконечное число точек разрыва). Убедиться также, что этот сигнал, однако, не дифференцируем в среднеквадратическом,

5.7. Доказать, что среднее число и средняя длительность выбросов над уровнем эргодического центрированного гауссовского процесса равны

где — дисперсия процесса, — интеграл Лапласа и определяется (по формуле (4.145).

5.8. Рассмотреть последовательность равноотстоящих на интервалах Т прямоугольных импульсов длительностью То со случайными независимыми одинаково распределенными амплитудами (рис. 5.7). Средние значения и дисперсии амплитуд импульсов равны а и соответственно.

Рис. 5.6. Случайный телеграфный сигнал

Доказать, что непрерывная и дискретная части спектра рассматриваемого импульсного случайного процесса с детерминированным тактовым интервалом (рис. 5.8)

Доказать также, что корреляционная функция рассматриваемого импульсного случайного процесса (рис. 5.9)

где

5.9. Рассмотреть последовательность прямоугольных импульсов с одинаковыми амплитудами а, длительностью то, но со случайным моментом появления внутри заданного тактового интервала длительностью Т (рис. 5.10). Моменты появления различных импульсов независимы, распределены одинаково, причем известна характеристическая функция случайного смещения v середины импульса относительно начала тактового интервала.

Рис. 5.7. Импульсный случайный процесс (случайные амплитуды импульсов)

Рис. 5.8. Спектральная плотность мощности процесса, представленного на рис. 5.7

Рис. 5.9. Корреляционная функция процесса, представленного на рис. 5.7

Рис. 5.10. Импульсный случайный процесс (случайное время появления импульса)

Вывести следующее выражение для спектра рассматриваемого импульсного случайного процесса с детерминированным тактовым интервалом

5.10. Рассмотреть последовательность прямоугольных импульсов постоянной амплитуды а и случайной длительности, которые появляются в начале каждого тактового интервала Т (рис. 5.11). Длительности импульсов независимы, распределены одинаково, причем известна характеристическая функция случайной длительности импульса. Доказать, что непрерывная и дискретная части спектра рассматриваемого импульсного случайного процесса с детерминированными тактовыми интервалами!

5.11. Рассмотреть клиппированный сигнал, представляющий апериодическую последовательность прямоугольных импульсов постоянной амплитуды а и случайной длительности, которые возникают в случайные моменты времени (рис. 5.12). Такой сигнал появляется на выходе идеального ограничителя, когда на его входе действует случайный процесс. Пусть случайные длительности импульсов и пауз между импульсами независимы и подчиняются одному и тому же закону распределения, а — характеристическая функция, соответствующая этому закону.

Рис. 5.11. Импульсный случайный процесс (случайные длительности импульсов)

Рис. 5.12. Клиппированный сигнал

Доказать, что спектр такого клиппировашюш сигнала имеет следующий вид:

где то — среднее значение длительностей импульсов и пауз. Вычислить значение шектральной плотности при непрерывной части спектра (25) и убедиться, что

где — дисперсия длительностей импульсов и пауз.

Рассмотреть экспоненциальное распределение длительностей импульсов и пауз, когда

и убедиться, что в этом случае непрерывная часть спектра (25) совпадает со спектрам случайного телеграфного сигнала [см. (14) задачи 5.6 при

5.12. Рассмотреть импульсный случайный процесс, реализациями которого являются пачки амплитудно-модулированных импульсов на детерминированных тактовых интервалах Т. Длительности импульсов и пауз между ними постоянны, а число импульсов в пачке случайно (рис. 5.13). Доказать, что непрерывная часть спектра рассматриваемого импульсного случайного процесса

где — среднее число импульсов в пачке и — дисперсия амплитуды импульсов.

Выражение (26) отличается от непрерывной части энергетического спектра процесса, в котором на каждом детерминированном интервале проявляется только один амплитудно-смодулированный импульс, лишь множителем , равным среднему числу импульсов в пачке.

Доказать, что дискретная часть спектра рассматриваемого импульсного, случайного процесса

где а — среднее значение амплитуд импульсов и — вероятность того, что в лачке окажется импульсов,

Рис. 5.13. Импульсный случайный процесс (случайные амплитуды и случайное число импульсов тактовом интервале)

Заметим, что в отличие от (26) дискретный спектр зависит от закона распределения случайного числа имттульсов в пачке, но не зависит от дисперсии амплитуд (т. е. от амплитудной модуляции импульсной последовательности)